Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
f(x)=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+3}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente. Vamos definir numerador e denominador e depois aplicar a fórmula.

Passo 2

Defina
u(x)=x^{3}-x, \qquad v(x)=x^{2}+3.
Então suas derivadas são
u'(x)=3x^{2}-1, \qquad v'(x)=2x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{(3x^{2}-1)(x^{2}+3)-(x^{3}-x)\,(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Primeiro expanda cada termo:
(3x^{2}-1)(x^{2}+3)=3x^{4}+9x^{2}-x^{2}-3=3x^{4}+8x^{2}-3,
(x^{3}-x)\,(2x)=2x^{4}-2x^{2}.
Subtraindo,
3x^{4}+8x^{2}-3\;-\;(2x^{4}-2x^{2}) =x^{4}+10x^{2}-3.
Logo a derivada fica
f'(x)=\frac{x^{4}+10x^{2}-3}{(x^{2}+3)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{4}+10x^{2}-3}{(x^{2}+3)^{2}}.

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