Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\left(e^{3 x}+2 \cos 5 x\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(e^{3x} + 2\cos 5x\bigr)^{5}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, junto com as derivadas básicas de e^{3x} e de \cos(5x).

Passo 2

Definimos a função interna
g(x) = e^{3x} + 2\cos 5x.
Aplicando derivada termo a termo, temos:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr) = 3e^{3x} (regra da exponencial composta),
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(2\cos 5x\bigr) = 2\cdot(-\sin 5x)\cdot 5 = -10\sin 5x (derivada de \cos e regra da cadeia).
Logo,
g'(x) = 3e^{3x} - 10\sin 5x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia na função f(x) = \bigl(g(x)\bigr)^5:
f'(x) = 5\bigl(g(x)\bigr)^{4} \cdot g'(x).
Substituindo g(x) e g'(x), obtemos a derivada desejada.

Resposta

f'(x) = 5\bigl(e^{3x} + 2\cos 5x\bigr)^{4}\,\bigl(3e^{3x} - 10\sin 5x\bigr).

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