4- Considere um sistema amortecido submetido a uma força externa com frequência \omega.
a) Qual a energia cinética instantânea do sistema?
b) Qual a energia potencial instantânea do sistema?
c) Qual a razão entre a energia cinética média e a energia potencial média?
d) Para que valor(es) de \omega a energia cinética média e a energia potencial média são iguais? Qual a energia total do sistema nessas condições?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola-amortecedor submetido a uma força externa periódica de frequência \omega. O objetivo é achar a energia cinética instantânea T(t), a energia potencial instantânea U(t), a razão entre as energias cinética e potencial médias e, por fim, determinar para quais \omega essas médias se igualam e qual é a energia total nessas condições. Vamos usar a solução em regime estacionário do sistema.

Passo 2

Em regime estacionário a resposta é
x(t)=X\cos\!\bigl(\omega t-\varphi\bigr),
com amplitude
X=\frac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\,\omega)^{2}}}
e fase
\varphi=\arctan\!\Bigl(\frac{c\,\omega}{k-m\omega^{2}}\Bigr).
A velocidade é
v(t)=\dot x(t)=-X\,\omega\sin\!\bigl(\omega t-\varphi\bigr).

Passo 3

A energia cinética instantânea é
T(t)=\tfrac{1}{2}m\bigl[v(t)\bigr]^{2} =\tfrac{1}{2}m\,X^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}\!\bigl(\omega t-\varphi\bigr).
A energia potencial instantânea da mola é
U(t)=\tfrac{1}{2}k\bigl[x(t)\bigr]^{2} =\tfrac{1}{2}k\,X^{2}\,\cos^{2}\!\bigl(\omega t-\varphi\bigr).

Passo 4

As energias médias sobre um período são
\langle T\rangle =\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}T(t)\,dt =\tfrac{1}{4}m\,X^{2}\,\omega^{2}, \quad \langle U\rangle =\tfrac{1}{4}k\,X^{2}.
Logo a razão entre elas é
\frac{\langle T\rangle}{\langle U\rangle} =\frac{\tfrac{1}{4}m\,X^{2}\,\omega^{2}}{\tfrac{1}{4}k\,X^{2}} =\frac{m\,\omega^{2}}{k}.

Passo 5

Para que \langle T\rangle=\langle U\rangle basta ter
\frac{m\,\omega^{2}}{k}=1 \;\Longrightarrow\; \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\;(\equiv\omega_{0}).
Nessas condições a energia média total é
\langle E\rangle =\langle T\rangle+\langle U\rangle =2\,\langle U\rangle =\tfrac{1}{2}\,k\,X^{2},
com
X\big|_{\omega_{0}} =\frac{F_{0}}{c\,\omega_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \langle E\rangle =\tfrac{1}{2}\,k\, \bigl(\tfrac{F_{0}}{c\,\omega_{0}}\bigr)^{2}.

Resposta

(a) T(t)=\tfrac{1}{2}m\,X^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(\omega t-\varphi).
(b) U(t)=\tfrac{1}{2}k\,X^{2}\,\cos^{2}(\omega t-\varphi).
(c) \displaystyle \frac{\langle T\rangle}{\langle U\rangle}=\frac{m\,\omega^{2}}{k}.
(d) \langle T\rangle=\langle U\rangle quando \omega=\sqrt{k/m}. Nesse caso \displaystyle \langle E\rangle=\tfrac{1}{2}\,k\,X^{2}
com X=F_{0}/(c\,\omega_{0}).

Exercícios relacionados