Calcule as seguintes derivadas.
f(x)=4 e^x ln x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = 4 e^{x} \ln x f(x) = 4 e^x ln x çõ e^{x} e^x í \ln x $). Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • $ u(x) = 4 e^{x} $
  • $ v(x) = \ln x $
A Regra do Produto diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é:
u(x) = 4 e^x

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  1. Derivada de $ u(x) = 4 e^{x} $:
    Sabemos que a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $. Então,
    u(x)
  2. Derivada de $ v(x) = \ln x $:
    A derivada de $ \ln x $ é $ \frac{1}{x} $. Então,
    v(x)

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo:
f'(x) = 4 e^x cdot ln x + 4 e^x cdot 1x

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão fatorando $ 4 e^{x} $:
4 e^x

Resposta

A derivada de $ f(x) = 4 e^{x} \ln x $ é:
f(x) = 4 e^x ln x

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