Calcule as seguintes derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = 4 e^{x} \ln x
e^{x}
\ln x $). Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
- $ u(x) = 4 e^{x} $
- $ v(x) = \ln x $
A Regra do Produto diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
-
Derivada de $ u(x) = 4 e^{x} $:Sabemos que a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $. Então,
-
Derivada de $ v(x) = \ln x $:A derivada de $ \ln x $ é $ \frac{1}{x} $. Então,
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
Substituindo:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão fatorando $ 4 e^{x} $:
Resposta
A derivada de $ f(x) = 4 e^{x} \ln x $ é: