Em um circuito elétrico, E é a força eletromotriz, R é a resistência e i é a corrente. A lei de Ohm afirma que E=Ri. Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce a uma taxa proporcional ao inverso do quadrado de i.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com o Circuito Elétrico e, mais especificamente, com a Lei de Ohm, que relaciona a força eletromotriz (E), a resistência ® e a corrente (i) no circuito pela fórmula $ \mathrm{E} = \mathrm{Ri} $. A pergunta quer que a gente mostre que, se a força eletromotriz $ \mathrm{E} $ é constante, a resistência $ \mathrm{R} $ diminui numa taxa que é proporcional ao inverso do quadrado de $ \mathrm{i} $. Para resolver, vamos precisar entender como derivar essa relação usando cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivar é uma maneira de ver como uma coisa muda em relação a outra. Aqui, queremos ver como $ \mathrm{R} $ muda com o tempo, então vamos derivar a fórmula da Lei de Ohm em relação ao tempo $ t $.
Dada a Lei de Ohm:
R
Como $ \mathrm{E} $ é constante, a derivada de $ \mathrm{E} $ em relação a $ t $ é zero:
t

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação $ \mathrm{E} = \mathrm{R} \cdot \mathrm{i} $ em relação ao tempo usando a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda:
E = R cdot i
Como $ \frac{d\mathrm{E}}{dt} = 0 $:
ddt (R cdot i) = dRdt cdot i + R cdot didt

Passo 4

Vamos resolver para $ \frac{d\mathrm{R}}{dt} $, que representa a taxa de variação da resistência:
dRdt
dRdt cdot i = -R cdot didt

Passo 5

Agora, queremos mostrar que $ \frac{d\mathrm{R}}{dt} $ é proporcional ao inverso do quadrado de $ \mathrm{i} $. Para isso, vamos assumir que a corrente $ \mathrm{i} $ está mudando com o tempo de uma forma específica. Se a taxa de variação da corrente $ \frac{d\mathrm{i}}{dt} $ for proporcional a $ \frac{1}{\mathrm{i}} $, então substituindo na equação anterior teremos:
dRdt
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade.

Passo 6

Simplificando a equação:
dRdt = -k cdot Ri^2
Isso mostra que a taxa de variação da resistência $ \frac{d\mathrm{R}}{dt} $ é proporcional ao inverso do quadrado da corrente $ \mathrm{i} $, já que está multiplicada por $ \frac{1}{\mathrm{i}^2} $.

Resposta

Assim, demonstramos que, com $ \mathrm{E} $ constante, a resistência $ \mathrm{R} $ diminui a uma taxa proporcional ao inverso do quadrado da corrente $ \mathrm{i} $, ou seja:
E

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