Calcule as seguintes derivadas.
f(x)=2 sen x3 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{2 \sin x}{3x + 5} $. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, o numerador é $ g(x) = 2 \sin x $ e o denominador é $ h(x) = 3x + 5 $.

Passo 3

Agora, vamos relembrar a regra do quociente. Se temos uma função $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $, a derivada dela é:
f(x) = g(x)h(x)
Essa regra nos permite derivar funções que são divisões de outras funções.

Passo 4

Vamos derivar $ g(x) $ e $ h(x) $ separadamente:
  • Derivada de $ g(x) = 2 \sin x $:
g(x)
  • Derivada de $ h(x) = 3x + 5 $:
h(x)

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula da regra do quociente:
f'(x) = (2 cos x)(3x + 5) - (2 sin x)(3)(3x + 5)^2
Vamos simplificar o numerador:
f'(x) = 6x cos x + 10 cos x - 6 sin x(3x + 5)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 6x cos x + 10 cos x - 6 sin x(3x + 5)^2

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