Calcule os seguintes determinantes:
\begin{array}{|rcrc|} 1 & 1 & 1 & 1 \\\ \log 8 & \log 80 & \log 800 & \log 8000 \\\ (\log 8)^{2} & (\log 80)^{2} & (\log 800)^{2} & (\log 8000)^{2} \\\ (\log 8)^{3} & (\log 80)^{3} & (\log 800)^{3} & (\log 8000)^{3} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[6pt] \log 8 & \log 80 & \log 800 & \log 8000 \\[6pt] (\log 8)^{2} & (\log 80)^{2} & (\log 800)^{2} & (\log 8000)^{2} \\[6pt] (\log 8)^{3} & (\log 80)^{3} & (\log 800)^{3} & (\log 8000)^{3} \end{pmatrix},
que é exatamente a forma de um determinante de Vandermonde, em que cada coluna corresponde a potências de um valor \displaystyle x_j.]

Passo 2

Definimos
x_1 = \log 8,\quad x_2 = \log 80,\quad x_3 = \log 800,\quad x_4 = \log 8000.
Então nossa matriz é
M_{ij} = x_j^{\,i-1},\quad i,j=1,\dots,4,
e o determinante de Vandermonde satisfaz
\det M \;=\;\prod_{1\le i<j\le4}\bigl(x_j - x_i\bigr).

Passo 3

Note que
\log 80 = \log(8\cdot10) = \log 8 + \log 10,
\log 800 = \log 8 + 2\,\log 10, \quad \log 8000 = \log 8 + 3\,\log 10.
Logo
x_j = \log 8 + (j-1)\,\log 10.
Chamando L = \log 10, obtemos
x_j - x_i = \bigl[(\log 8)+(j-1)L\bigr] - \bigl[(\log 8)+(i-1)L\bigr] = (j-i)\,L.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Vandermonde:
\det M = \prod_{1\le i<j\le4} (x_j - x_i) = \prod_{1\le i<j\le4} \bigl((j-i)\,L\bigr) = L^{6}\,\prod_{1\le i<j\le4}(j-i).
Aqui temos \tfrac{4\cdot3}{2}=6 fatores de L.

Passo 5

Calculamos
\prod_{1\le i<j\le4}(j-i) = (2-1)(3-1)(4-1)\,(3-2)(4-2)(4-3) = 1\cdot2\cdot3\;\times\;1\cdot2\cdot1 = 12.

Passo 6

Portanto
\det M = 12\,L^{6} = 12\,\bigl(\log 10\bigr)^{6}.

Resposta

12\,\bigl(\log 10\bigr)^{6}.

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