Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{cccc} 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\\\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} \\\\ 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} & 6^{2} \\\\ 4^{2} & 5^{2} & 6^{2} & 7^{2} \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá o determinante de uma matriz 4\times4 do tipo Hankel, cujos elementos são
a_{ij}=(i+j-1)^{2},\quad i,j=1,\dots,4.
O que vamos usar é que, ao fazer diferenças sucessivas de linhas em matrizes cujos elementos vêm de polinômios de grau 2, acabamos obtendo duas linhas idênticas, o que implica determinante zero. Faremos isso com operações elementares em linha.

Passo 2

Denote por R_{1},R_{2},R_{3},R_{4} as linhas originais de
A=\begin{pmatrix} 1^{2} & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2}\\\\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} & 5^{2}\\\\ 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} & 6^{2}\\\\ 4^{2} & 5^{2} & 6^{2} & 7^{2} \end{pmatrix}.
Execute as operações
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{3}.
Essas subtrações não alteram o valor do determinante.

Passo 3

Após
R_{2}=R_{2}-R_{1}=(2^{2}-1^{2},\,3^{2}-2^{2},\,4^{2}-3^{2},\,5^{2}-4^{2})=(3,5,7,9),
R_{3}=R_{3}-R_{2_{\rm original}}=(3^{2}-2^{2},\,4^{2}-3^{2},\,5^{2}-4^{2},\,6^{2}-5^{2})=(5,7,9,11),
R_{4}=R_{4}-R_{3_{\rm original}}=(4^{2}-3^{2},\,5^{2}-4^{2},\,6^{2}-5^{2},\,7^{2}-6^{2})=(7,9,11,13).

Passo 4

Agora façamos mais uma rodada de diferenças entre as novas linhas:
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}=(5,7,9,11)-(3,5,7,9)=(2,2,2,2),
R_{4}\leftarrow R_{4}-\bigl(R_{3}\text{ antes da mudança}\bigr)=(7,9,11,13)-(5,7,9,11)=(2,2,2,2).ç
Novamente essas operações não alteram o determinante.

Passo 5

Como agora as linhas R_{3} e R_{4} são idênticas \bigl=(2,2,2,2), a matriz resultante tem duas linhas iguais, logo seu determinante é zero. Portanto, o determinante original também vale zero.

Resposta

\displaystyle 0

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