Calcule os seguintes determinantes:
\begin{array}{|rcr|} 1 & \cos (\beta-\alpha) & \cos (\gamma-\alpha) \\\ \cos (\alpha-\beta) & 1 & \cos (\gamma-\beta) \\\ \cos (\alpha-\gamma) & \cos (\beta-\gamma) & 1 \end{array}

Passo 1

A questão pede para calcular o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & \cos(\beta-\alpha) & \cos(\gamma-\alpha)\\\ \cos(\alpha-\beta) & 1 & \cos(\gamma-\beta)\\\ \cos(\alpha-\gamma) & \cos(\beta-\gamma) & 1 \end{pmatrix}
O conteúdo é “determinante de matriz 3\times3” e vamos usar a expansão por co-fatores (menores) ao longo da primeira linha.

Passo 2

Definimos as abreviações
c_{12}=\cos(\beta-\alpha),\quad c_{13}=\cos(\gamma-\alpha),\quad c_{23}=\cos(\gamma-\beta),
para simplificar a escrita. A expansão do determinante pela primeira linha é
D =1\cdot M_{11} - c_{12}\cdot M_{12} + c_{13}\cdot M_{13},
onde M_{1j} é o menor obtido ao eliminar linha 1 e coluna j.

Passo 3

Calculamos cada menor:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & c_{23}\c_{23} & 1\end{pmatrix} =1 - c_{23}^2,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}c_{12} & c_{23}\c_{13} & 1\end{pmatrix} =c_{12}-c_{23}\,c_{13},
M_{13}=\det\begin{pmatrix}c_{12} & 1\c_{13} & c_{23}\end{pmatrix} =c_{12}\,c_{23}-c_{13}.

Passo 4

Substituindo em D e agrupando termos, temos
D =1\cdot(1 - c_{23}^2) - c_{12}\,(c_{12}-c_{23}c_{13}) + c_{13}\,(c_{12}c_{23}-c_{13})
\phantom{D} =1 - c_{23}^2 - c_{12}^2 + c_{12}c_{23}c_{13} + c_{12}c_{23}c_{13} - c_{13}^2
\phantom{D} =1 -\bigl(c_{12}^2 + c_{23}^2 + c_{13}^2\bigr) +2\,c_{12}\,c_{23}\,c_{13}.

Resposta

\det = 1 - \bigl[\cos^2(\beta-\alpha)+\cos^2(\gamma-\beta)+\cos^2(\gamma-\alpha)\bigr] +2\,\cos(\beta-\alpha)\,\cos(\gamma-\beta)\,\cos(\gamma-\alpha).

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