Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{cccc} 2 & 4 & 5 & 10 \\\\ 3 & 6 & 4 & 5 \\\\ 2 & 1 & 7 & 14 \\\\ 4 & 6 & 2 & 4 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 10 \\\\ 3 & 6 & 4 & 5 \\\\ 2 & 1 & 7 & 14 \\\\ 4 & 6 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Vamos usar operações elementares sobre linhas para criar zeros e depois aplicar expansão de Laplace. Lembrando que multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k, enquanto somar a ela um múltiplo de outra linha não altera o determinante.

Passo 2

Definimos uma nova matriz A' pelas operações:
  • R_2' = 2R_2 - 3R_1 (multiplica R_2 por 2 e subtrai 3 vezes R_1),
  • R_3' = R_3 - R_1,
  • R_4' = 2R_4 - 4R_1.
    O efeito no determinante é um fator 2 de R_2 e outro 2 de R_4, ou seja \det(A')=4\det(A). A matriz resultante é
A' = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 10 \\\\ 0 & 0 & -7 & -20 \\\\ 0 & -3 & 2 & 4 \\\\ 0 & -4 & -16 & -32 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como só o elemento (1,1) de A' é não nulo na primeira coluna, expandimos por essa coluna:
\det(A') = 2 \;\det\! \begin{pmatrix} 0 & -7 & -20 \\\\ -3 & 2 & 4 \\\\ -4 & -16 & -32 \end{pmatrix} = 2\,\det(B),
onde
B = \begin{pmatrix} 0 & -7 & -20 \\\\ -3 & 2 & 4 \\\\ -4 & -16 & -32 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para \det(B), expandimos pela primeira linha (note que b_{11}=0, b_{12}=-7, b_{13}=-20):
\det(B) = b_{12}(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}-3 & 4 \\\\ -4 & -32\end{pmatrix} + b_{13}(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}-3 & 2 \\\\ -4 & -16\end{pmatrix}.
Calculamos os menores:
\det\begin{pmatrix}-3 & 4 \\\\ -4 & -32\end{pmatrix} = (-3)(-32) - 4(-4) = 96 + 16 = 112,
\det\begin{pmatrix}-3 & 2 \\\\ -4 & -16\end{pmatrix} = (-3)(-16) - 2(-4) = 48 + 8 = 56.
Então
\det(B) = (-7)\times(-1)\times112 \;+\;(-20)\times(+1)\times56 = 784 - 1120 = -336.

Passo 5

Juntando tudo:
\det(A') = 2\,\det(B) = 2 \times (-336) = -672,
e como \det(A')=4\det(A), segue
4\det(A) = -672 \quad\Longrightarrow\quad \det(A) = \frac{-672}{4} = -168.

Resposta

-168

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