Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{llll} 4 & 1 & 2 & 3 \\\\ 6 & 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 4 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 5 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante
D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 3\\\\ 6 & 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & 4 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}\!.
O conteúdo é o cálculo de determinante de matriz 4\times4. Vamos usar operações elementares de linha (invariantes do determinante) para triangularizar a matriz e depois expandir por uma coluna.

Passo 2

Aplicamos as operações
L_{2}\leftarrow L_{2}-\tfrac{6}{4}L_{1},\quad L_{3}\leftarrow L_{3}-\tfrac{3}{4}L_{1},\quad L_{4}\leftarrow L_{4}-\tfrac{1}{4}L_{1}
para zerar as entradas abaixo de a_{11}=4. A matriz fica
\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & \tfrac12 & -2 & -\tfrac92\\\\ 0 & \tfrac14 & \tfrac52 & -\tfrac94\\\\ 0 & -\tfrac14 & \tfrac32 & \tfrac{17}{4} \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora expandimos D pela primeira coluna. Como só o primeiro elemento é não nulo,
D = 4 \,\cdot \begin{vmatrix} \tfrac12 & -2 & -\tfrac92\\\ \tfrac14 & \tfrac52 & -\tfrac94\\\\ -\tfrac14 & \tfrac32 & \tfrac{17}{4} \end{vmatrix} \equiv 4\cdot\det(N).

Passo 4

Para \det(N) usamos a fórmula de um 3\times3. Seja
N=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
com a=\tfrac12, b=-2, c=-\tfrac92, d=\tfrac14, e=\tfrac52, f=-\tfrac94, g=-\tfrac14, h=\tfrac32, i=\tfrac{17}{4}.
Calculamos:
\begin{aligned} ei - fh &= \tfrac52\cdot\tfrac{17}{4} - \bigl(-\tfrac94\bigr)\cdot\tfrac32 = 14,\\\ di - fg &= \tfrac14\cdot\tfrac{17}{4} - \bigl(-\tfrac94\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac14\bigr) = \tfrac12,\\\ dh - eg &= \tfrac14\cdot\tfrac32 - \tfrac52\cdot\bigl(-\tfrac14\bigr) = 1. \end{aligned}
Então
\det(N) = a\,(ei - fh)\;-\;b\,(di - fg)\;+\;c\,(dh - eg) = \tfrac12\cdot14 - (-2)\cdot\tfrac12 + \Bigl(-\tfrac92\Bigr)\cdot1 = \tfrac72.

Passo 5

Por fim,
D = 4 \times \det(N) = 4 \times \tfrac72 = 14.

Resposta

14

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