Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{cccc}-x & y & 1 & 0 \\\\ -y & 0 & -1 & x \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & -1 & x & y\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4:
A=\begin{pmatrix} -x & y & 1 & 0 \\\\ -y & 0 & -1 & x \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 1 & -1 & x & y \end{pmatrix}.
O conteúdo que usamos é a expansão de Laplace por linha (ou coluna), escolhendo aquela com mais zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Repare que na terceira linha só há um elemento não nulo, a_{34}=2. Ao expandir por essa linha, usamos o cofator (-1)^{3+4}=(-1)^7=-1. Logo,
\det(A) =2\cdot(-1)\, \begin{vmatrix} -x & y & 1 \\\\ -y & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & x \end{vmatrix} =-2\, \begin{vmatrix} -x & y & 1 \\\\ -y & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & x \end{vmatrix}.

Passo 3

Chamando
M=\begin{pmatrix} -x & y & 1 \\\\ -y & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & x \end{pmatrix},
calculamos \det(M) pela regra de Sarrus ou cofactor em primeira linha:
\det(M) =-x\begin{vmatrix}0 & -1\\\\ -1 & x\end{vmatrix} -y\begin{vmatrix}-y & -1\\\\ 1 & x\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}-y & 0\\\\ 1 & -1\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}0 & -1\\\\ -1 & x\end{vmatrix} =0\cdot x -(-1)(-1)=-1, \quad \begin{vmatrix}-y & -1\\\\ 1 & x\end{vmatrix} =-y\cdot x -(-1)\cdot1=-yx+1, \quad \begin{vmatrix}-y & 0\\\\ 1 & -1\end{vmatrix} =(-y)(-1)-0\cdot1=y.
Portanto,
\det(M) =-x\cdot(-1)\;-\;y\bigl(-yx+1\bigr)\;+\;1\cdot y =x\;+\;y^2x - y\;+\;y =x\,(1+y^2).

Passo 4

Substituindo em \det(A)=-2\,\det(M), obtemos
\det(A)=-2\,\bigl[x\,(1+y^2)\bigr] =-2x\,(1+y^2).

Resposta

-2x\,(1+y^2).

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