23 Resolva, em R, a equação: \left|\begin{array}{cccc}x & 0 & 0 & 3 \\\\ -1 & x & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & x & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right|=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\det\begin{pmatrix} x & 0 & 0 & 3 \\\\ -1 & x & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & x & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} =3.
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 4\times4 em função de x. Para resolver, vamos usar expansão por cofactores (Laplace), simplificar até obter um polinômio em x e igualar a 3.

Passo 2

Expandimos o determinante pela primeira linha. Se chamarmos A a matriz dada, então
\det(A) = x\cdot C_{1,1} \;+\; 3\cdot C_{1,4},
onde C_{1,1}=(-1)^{1+1}\det(M_{1,1}) e C_{1,4}=(-1)^{1+4}\det(M_{1,4}).
  • M_{1,1} é a submatriz obtida retirando linha 1 e coluna 1: M_{1,1} = \begin{pmatrix} x & 0 & 0\\\\ -1 & x & 1\\\\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
  • M_{1,4} é a submatriz retirando linha 1 e coluna 4: M_{1,4} = \begin{pmatrix} -1 & x & 0\\\\ 0 & -1 & x\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \det(M_{1,4}). Como M_{1,4} é triangular superior,
\det(M_{1,4}) = (-1)\cdot(-1)\cdot(-1) = -1.
O cofactor C_{1,4}=(-1)^{5}\det(M_{1,4})=-1\cdot(-1)=1.
Agora \det(M_{1,1}): expandindo pela primeira linha de M_{1,1}, só o elemento x em posição (1,1) dá contribuição não nula,
\det(M_{1,1}) = x \,\det\!\begin{pmatrix}x & 1\\\\ -1 & -2\end{pmatrix} = x\bigl(x\cdot(-2)-1\cdot(-1)\bigr) = x(-2x+1) = -2x^2 + x.
E o cofactor C_{1,1}=(-1)^{2}\det(M_{1,1})=1\cdot(-2x^2+x)=-2x^2+x.

Passo 4

Juntando os termos na expansão de \det(A):
\det(A) = x\,(C_{1,1}) \;+\; 3\,(C_{1,4}) = x\,(-2x^2+x) \;+\; 3\cdot1 = -2x^3 + x^2 + 3.
A condição do enunciado é \det(A)=3, logo
-2x^3 + x^2 + 3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad -2x^3 + x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2(-2x + 1)=0.

Passo 5

Resolvendo x^2(-2x+1)=0 em \mathbb{R}:
x^2=0 \;\Rightarrow\; x=0, \quad -2x+1=0 \;\Rightarrow\; x=\tfrac12.

Resposta

As soluções reais são x=0 e x=\tfrac12.

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