Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{ccrc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & a+1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & b+1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & c+1 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & a+1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & b+1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & c+1 \end{pmatrix}.
O tema aqui é determinantes e operações elementares em linhas: lembrar que somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o valor do determinante, e que, uma vez triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Vamos zerar todos os elementos abaixo do primeiro pivô (que está em M_{11}=1) subtraindo a primeira linha de cada uma das demais. Para i=2,3,4:
L_i \leftarrow L_i - L_1.

Passo 3

Após essa operação, a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & a & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & b & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & c \end{pmatrix}.
Repare que agora é uma matriz triangular (todos os termos abaixo da diagonal principal são zero).]

Passo 4

Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Como as operações que fizemos não alteraram o determinante, temos
\det(M) = 1 \cdot a \cdot b \cdot c = abc.

Resposta

abc

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