Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{ccrrrc} \alpha & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ \alpha & \alpha+1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\\ \alpha & \alpha+1 & \alpha+2 & 3 & 3 & 3 \\\ \alpha & \alpha+1 & \alpha+2 & \alpha+3 & 4 & 4 \\\ \alpha & \alpha+1 & \alpha+2 & \alpha+3 & \alpha+4 & 5 \\\ \alpha & \alpha+1 & \alpha+2 & \alpha+3 & \alpha+4 & \alpha+5 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de ordem 6 de uma matriz cuja entrada na linha i e coluna j vale
a_{i,j} = \begin{cases} \alpha + (j-1), & \text{se }j\le i,\\\ i, & \text{se }j>i. \end{cases}
O conteúdo principal é usar operações elementares de linha para triangularizar a matriz sem alterar o determinante.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de que adicionar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante. Em particular, para cada i de 6 até 2, substituímos
R_i \longleftarrow R_i - R_{i-1}.
Isso é equivalente a somar -1 vez a linha i-1 à linha i, det não muda.

Passo 3

Depois dessas operações, a matriz fica triangular superior. A forma resultante é
\begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & \alpha & 1 & 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & \alpha & 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & \alpha & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}.
Como é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.]

Passo 4

Multiplicando os seis elementos \alpha da diagonal, obtemos
\det = \alpha \times \alpha \times \alpha \times \alpha \times \alpha \times \alpha = \alpha^6.

Resposta

\alpha^6

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