1. Calcule os seguintes determinantes:
    a) \left|\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|
    b) \left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\\\ -2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|
    c) \left|\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|
    d) \left|\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\\\ -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -3 & 4\end{array}\right|
    е) \left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 4 \\\\ 3 & 5 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1\end{array}\right|
    f) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ -3 & -3 & -3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis determinantes de matrizes 3\times3. Vamos usar a regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita, somar os produtos das diagonais que descem da esquerda para a direita e subtrair os produtos das diagonais que sobem da esquerda para a direita.

Passo 2

Para
A_a = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\[6pt] 3 & 2 & 1 \\[6pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
repetimos as duas primeiras colunas e aplicamos Sarrus:
\det(A_a) = \bigl(2\cdot2\cdot3 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot3\cdot2\bigr) - \bigl(1\cdot2\cdot1 + 2\cdot1\cdot3 + 3\cdot3\cdot1\bigr) = (12 + 1 + 6) - (2 + 6 + 9) = 19 - 17 = 2.]

Passo 3

Para
A_b = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\[6pt] -2 & 1 & 1 \\[6pt] 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}
temos
\det(A_b) = \bigl(1\cdot1\cdot(-1) + (-2)\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-2)\cdot2\bigr) - \bigl(1\cdot1\cdot1 + 2\cdot1\cdot1 + (-1)\cdot(-2)\cdot(-2)\bigr) = (-1 - 2 - 4) - (1 + 2 - 4) = -7 - (-1) = -6.]

Passo 4

Para
A_c = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\[6pt] 2 & 2 & 2 \\[6pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
aplicando Sarrus:
\det(A_c) = \bigl((-2)\cdot2\cdot1 + 1\cdot2\cdot1 + 3\cdot2\cdot(-1)\bigr) - \bigl(1\cdot2\cdot3 + (-1)\cdot2\cdot(-2) + 1\cdot2\cdot1\bigr) = (-4 + 2 - 6) - (6 + 4 + 2) = -8 - 12 = -20.]

Passo 5

Para
A_d = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\[6pt] -1 & 2 & -3 \\[6pt] 2 & -3 & 4 \end{pmatrix}
usamos Sarrus:
\det(A_d) = \bigl(0\cdot2\cdot4 + (-1)\cdot(-3)\cdot2 + 2\cdot(-1)\cdot(-3)\bigr) - \bigl(2\cdot2\cdot2 + (-3)\cdot(-3)\cdot0 + 4\cdot(-1)\cdot(-1)\bigr) = (0 + 6 + 6) - (8 + 0 + 4) = 12 - 12 = 0.]

Passo 6

Para
A_e = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\[6pt] 3 & 5 & 1 \\[6pt] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
temos
\det(A_e) = \bigl(2\cdot5\cdot1 + (-1)\cdot1\cdot(-1) + 4\cdot3\cdot2\bigr) - \bigl((-1)\cdot5\cdot4 + 2\cdot1\cdot2 + 1\cdot3\cdot(-1)\bigr) = (10 + 1 + 24) - (-20 + 4 - 3) = 35 - (-19) = 54.]

Passo 7

Para
A_f = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 2 & 2 & 2 \\[6pt] -3 & -3 & -3 \end{pmatrix}
observamos que a segunda linha é 2 × (1ª linha) e a terceira é –3 × (1ª linha), logo as linhas são linearmente dependentes e
\det(A_f) = 0.]

Resposta

(a) 2
(b) -6
(c) -20
(d) 0
(e) 54
(f) 0

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