1. Prove que , se A é inversível, então \operatorname{det} A \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz A é inversível (isto é, existe A^{-1} tal que A A^{-1}=I), então \det A\neq0. Vamos usar as propriedades de determinante: a multiplicatividade \det(BC)=\det B\cdot\det C e o fato de que \det I=1.

Passo 2

Lembrando a propriedade fundamental do determinante:
\det(BC)=\det B\cdot\det C
para quaisquer matrizes quadradas B e C do mesmo tamanho, e que
\det I = 1.

Passo 3

Como A é inversível, temos
A\,A^{-1}=I.
Aplicando a propriedade de multiplicatividade do determinante a essa igualdade, obtemos
\det(A\,A^{-1})=\det I.

Passo 4

Pela multiplicatividade,
\det(A\,A^{-1})=\det A\cdot\det A^{-1},
e pelo passo anterior \det(A\,A^{-1})=\det I=1. Logo,
\det A\cdot\det A^{-1}=1.

Passo 5

Se o produto \det A\cdot\det A^{-1}=1, necessariamente \det A\neq0 (caso contrário, o produto seria zero). Assim, concluímos a prova.

Resposta

\det A\neq0 quando A é inversível.

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