- Prove que , se
é inversível, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz
é inversível (isto é, existe
tal que
), então
. Vamos usar as propriedades de determinante: a multiplicatividade
e o fato de que
.
Passo 2
Lembrando a propriedade fundamental do determinante:
para quaisquer matrizes quadradas
e
do mesmo tamanho, e que
Passo 3
Como
é inversível, temos
Aplicando a propriedade de multiplicatividade do determinante a essa igualdade, obtemos
Passo 4
Pela multiplicatividade,
e pelo passo anterior
. Logo,
Passo 5
Se o produto
, necessariamente
(caso contrário, o produto seria zero). Assim, concluímos a prova.