Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{llll} 3 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4 que tem valor 3 em cada posição da diagonal principal e 1 em todas as demais posições. O conteúdo aqui é determinante de matrizes do tipo aI+bJ, onde I é a matriz identidade e J é a matriz de todos uns. Para resolver, vamos usar a propriedade de valores próprios e o fato de que o determinante é o produto dos autovalores.

Passo 2

Observe que podemos escrever a matriz dada como
M = 2I + J
onde I é a identidade 4\times4 e J é a matriz 4\times4 cujas entradas são todas iguais a 1. Isso funciona pois 2I tem 2 na diagonal e 0 fora dela, e somando a J obtemos 3 na diagonal e 1 fora.

Passo 3

Para achar os valores próprios de M, lembramos que a matriz J satisfaz
J\,(1,1,1,1)^T = 4\,(1,1,1,1)^T
logo J tem um autovalor 4 (multiplicidade 1) e autovalor 0 de multiplicidade 3. Assim, os autovalores de
M = 2I + J
são
\lambda_1 = 2 + 4 = 6 \quad(\text{multiplicidade 1}), \qquad \lambda_{2,3,4} = 2 + 0 = 2 \quad(\text{multiplicidade 3}).

Passo 4

Como o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores, temos
\det(M) = 6 \times 2 \times 2 \times 2 = 48.

Resposta

48

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