O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4 que tem valor 3 em cada posição da diagonal principal e 1 em todas as demais posições. O conteúdo aqui é determinante de matrizes do tipo aI+bJ, onde I é a matriz identidade e J é a matriz de todos uns. Para resolver, vamos usar a propriedade de valores próprios e o fato de que o determinante é o produto dos autovalores.
Passo 2
Observe que podemos escrever a matriz dada como
M = 2I + J
onde I é a identidade 4\times4 e J é a matriz 4\times4 cujas entradas são todas iguais a 1. Isso funciona pois 2I tem 2 na diagonal e 0 fora dela, e somando a J obtemos 3 na diagonal e 1 fora.
Passo 3
Para achar os valores próprios de M, lembramos que a matriz J satisfaz
J\,(1,1,1,1)^T = 4\,(1,1,1,1)^T
logo J tem um autovalor 4 (multiplicidade 1) e autovalor 0 de multiplicidade 3. Assim, os autovalores de