Questão 18 Sabendo que os valores reais a e b são números reais tais que
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & a \\\ b & 1 & 1 \\\\ 1 & a+b & 2 \end{array}\right|=1

Passo 1

O enunciado informa que a e b são números reais e que a condição imposta é
\begin{vmatrix} 1 & 2 & a \\\ b & 1 & 1 \\\\ 1 & a+b & 2 \end{vmatrix} =1.
Isso leva à equação em a e b que caracteriza o locus de soluções.

Passo 2

Para computar o determinante, usamos a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Fazendo expansão pela primeira linha:
1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\ a+b & 2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}b & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} + a\cdot\det\begin{pmatrix}b & 1 \\\\ 1 & a+b\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\ a+b & 2\end{pmatrix} =2-(a+b), \quad \det\begin{pmatrix}b & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =2b-1,
\det\begin{pmatrix}b & 1 \\\\ 1 & a+b\end{pmatrix} =b(a+b)-1 = ab + b^2 -1.

Passo 4

Substituindo no determinante e igualando a 1 obtemos
(2-a-b)-2(2b-1)+a\bigl(ab+b^2-1\bigr)=1.
Ao expandir e rearranjar, chega‐se à relação
ab(a+b)\;-\;2a\;-\;5b\;+\;3\;=\;0.

Passo 5

Essa é a condição final que a e b devem satisfazer. Sem informação adicional (por exemplo, um valor de a, de b ou de alguma expressão que se queira calcular), não há como determinar soluções únicas — temos uma curva implícita em (a,b).

Resposta

A relação entre a e b é
ab(a+b)-2a-5b+3=0.
Não é possível obter pares (a,b) únicos sem mais dados.

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