Calcule as seguintes integrais:
b) \int_{-3}^{3}|x-2| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-3}^{3} |x-2|\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função valor absoluto |x-2|.
  • O intervalo de integração é [-3,3].
O que se quer: encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Entender a função |x-2|. A função valor absoluto se comporta de forma diferente dependendo do sinal de x-2. Precisamos achar o ponto em que x-2=0, porque ali a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal:
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Como x=2 está dentro do intervalo de integração [-3,3], vamos dividir a integral em duas partes nos pontos onde a função muda de expressão.

Passo 3

Escrever |x-2| como função por partes:
|x-2|= \begin{cases} 2-x, & \text{se } x<2,\\[4pt] x-2, & \text{se } x\ge 2. \end{cases}
Portanto
\int_{-3}^{3}|x-2|\,dx=\int_{-3}^{2}(2-x)\,dx+\int_{2}^{3}(x-2)\,dx.]

Passo 4

Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{-3}^{2}(2-x)\,dx.
Escolhemos uma primitiva (antiderivada) de 2-x:
\text{uma primitiva é } F(x)=2x-\frac{x^{2}}{2},é
pois F'(x)=2-x.
Avaliar nos extremos:
F(2)=2\cdot2-\frac{2^{2}}{2}=4-\frac{4}{2}=4-2=2,
F(-3)=2\cdot(-3)-\frac{(-3)^{2}}{2}=-6-\frac{9}{2}=-\frac{12}{2}-\frac{9}{2}=-\frac{21}{2}.
Subtraindo,
\int_{-3}^{2}(2-x)\,dx=F(2)-F(-3)=2-\left(-\frac{21}{2}\right)=2+\frac{21}{2}=\frac{4}{2}+\frac{21}{2}=\frac{25}{2}.

Passo 5

Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{2}^{3}(x-2)\,dx.
Uma primitiva de x-2 é
G(x)=\frac{x^{2}}{2}-2x,
pois G'(x)=x-2.
Avaliar nos extremos:
G(3)=\frac{3^{2}}{2}-2\cdot3=\frac{9}{2}-6=\frac{9-12}{2}=-\frac{3}{2},
G(2)=\frac{2^{2}}{2}-2\cdot2=\frac{4}{2}-4=2-4=-2.
Subtraindo,
\int_{2}^{3}(x-2)\,dx=G(3)-G(2)=-\frac{3}{2}-(-2)=-\frac{3}{2}+2=-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Somar as duas partes:
\int_{-3}^{3}|x-2|\,dx=\frac{25}{2}+\frac{1}{2}=\frac{26}{2}=13.
Como verificação rápida: geometricamente |x-2| é uma função em \V\ centrada em x=2, e a integral corresponde à área sob essa curva no intervalo dado — a soma das áreas dá 13.

Resposta

13

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