Calcule as seguintes integrais:
c) \int \frac{6-x}{(x-3)(2 x+5)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{6-x}{(x-3)(2x+5)}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a integrar é uma função racional com numerador 6-x e denominador (x-3)(2x+5).
  • Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{6-x}{(x-3)(2x+5)}.
  • Observação importante: o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2), então a função é própria e a decomposição em frações parciais é aplicável.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática curta): para integrar uma fração racional onde o denominador é produto de fatores lineares distintos, é muito prático escrever a fração como soma de frações simples (frações parciais). A forma geral aqui é
\frac{6-x}{(x-3)(2x+5)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{2x+5},
onde A e B são constantes a determinar. Isso transforma a integral em soma de integrais do tipo \int \dfrac{1}{ax+b}\,dx, que são fáceis de calcular.

Passo 3

Determinar A\) e \(B\). Multiplicando ambos os lados por \((x-3)(2x+5)\) obtemos \[6-x = A(2x+5)+B(x-3).
Agora expandimos o lado direito:
6-x = (2A+B)\,x + (5A-3B).
Igualando coeficientes dos termos x e constantes no polinômio, obtemos o sistema linear
\begin{cases} -1 = 2A + B,\\[4pt] 6 = 5A - 3B. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação vem (B=-1-2A]. Substituindo na segunda:
6 = 5A -3(-1-2A)=5A+3+6A=11A+3.
Assim
11A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{11}.
E
B=-1-2A=-1-2\cdot\frac{3}{11}=-\frac{11}{11}-\frac{6}{11}=-\frac{17}{11}.]

Passo 4

Portanto a decomposição é
\frac{6-x}{(x-3)(2x+5)}=\frac{3/11}{x-3}-\frac{17/11}{2x+5}.
A integral se separa:
\int \frac{6-x}{(x-3)(2x+5)}\,dx = \frac{3}{11}\int \frac{1}{x-3}\,dx - \frac{17}{11}\int \frac{1}{2x+5}\,dx.

Passo 5

Regra útil (pequena aula): para integrar \dfrac{1}{ax+b} usa-se substituição u=ax+b, du=a\,dx, então
\int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.
Aplicando isso aos dois termos:
  • Para o primeiro: \displaystyle \frac{3}{11}\int \frac{1}{x-3}\,dx=\frac{3}{11}\ln|x-3|.
  • Para o segundo: \displaystyle -\frac{17}{11}\int \frac{1}{2x+5}\,dx=-\frac{17}{11}\cdot\frac{1}{2}\ln|2x+5|=-\frac{17}{22}\ln|2x+5|.
Somando e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Passo 6

Escrevendo a resposta final de forma simplificada:
\int \frac{6-x}{(x-3)(2x+5)}\,dx=\frac{3}{11}\ln|x-3|-\frac{17}{22}\ln|2x+5|+C,
onde C é a constante de integração. (Se preferir, pode escrever \dfrac{3}{11}=\dfrac{6}{22} e combinar os logaritmos numa única fração, mas não é necessário.)

Resposta

\displaystyle \frac{3}{11}\ln|x-3|-\frac{17}{22}\ln|2x+5|+C

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