Calcule as seguintes integrais:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A função a integrar é uma função racional com numerador
e denominador . - Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Observação importante: o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador ( ), então a função é própria e a decomposição em frações parciais é aplicável.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática curta): para integrar uma fração racional onde o denominador é produto de fatores lineares distintos, é muito prático escrever a fração como soma de frações simples (frações parciais). A forma geral aqui é
onde
e
são constantes a determinar. Isso transforma a integral em soma de integrais do tipo
, que são fáceis de calcular.
Passo 3
Determinar
Agora expandimos o lado direito:
Igualando coeficientes dos termos
e constantes no polinômio, obtemos o sistema linear
Resolvendo: da primeira equação vem (B=-1-2A]. Substituindo na segunda:
Assim
E
]
Assim
E
Passo 4
Portanto a decomposição é
A integral se separa:
Passo 5
Regra útil (pequena aula): para integrar
usa-se substituição
,
, então
Aplicando isso aos dois termos:
- Para o primeiro:
- Para o segundo:
Somando e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva.
Passo 6
Escrevendo a resposta final de forma simplificada:
onde
é a constante de integração. (Se preferir, pode escrever
e combinar os logaritmos numa única fração, mas não é necessário.)