Calcule as seguintes integrais:
a) \int x^{4} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{4}\ln x\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A integranda é x^{4}\ln x.
  • A variável de integração é x.
  • Como aparece \ln x, para a versão real usual devemos considerar x>0 (ou trocar por \ln|x| se quiser a extensão para x\neq0).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vamos aprender e entender essa técnica passo a passo.
Regra (fórmula) da integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicação do porquê: vem da regra do produto da diferenciação. Se u e v são funções diferenciáveis então
d(uv)=u\,dv+v\,du.
Integrando ambos os lados obtemos
uv=\int u\,dv+\int v\,du,
e reorganizando chega-se à fórmula acima. Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para diferenciar ( du será sua derivada vezes dx);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (obtemos v integrando dv).
Regra prática para escolher u: escolher algo que fique mais simples ao derivar (por exemplo \ln x fica 1/x), enquanto dv deve ser fácil de integrar (potências de x são fáceis).

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: para \int x^{4}\ln x\,dx escolhemos
u=\ln x, \qquad dv=x^{4}\,dx.
Justificativa: \ln x fica mais simples ao derivar e x^{4} é fácil de integrar. Essa escolha reduz o problema a calcular uma integral polinomial simples.

Passo 4

Calcular du e v:
Derivada de \ln x:
du=\frac{d}{dx}(\ln x)\,dx=\frac{1}{x}\,dx.
Integral de x^{4}:
v=\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5},
porque vale a fórmula geral \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.

Passo 5

Substituir na fórmula da integração por partes:
\int x^{4}\ln x\,dx = uv - \int v\,du.
Calculando cada termo:
uv = \left(\ln x\right)\left(\frac{x^{5}}{5}\right)=\frac{x^{5}}{5}\ln x,
e
\int v\,du = \int \frac{x^{5}}{5}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{5}\int x^{4}\,dx,
pois \dfrac{x^{5}}{x}=x^{4}.

Passo 6

Calcular a integral restante:
\frac{1}{5}\int x^{4}\,dx = \frac{1}{5}\cdot\frac{x^{5}}{5}=\frac{x^{5}}{25}.
Substituindo de volta:
\int x^{4}\ln x\,dx = \frac{x^{5}}{5}\ln x - \frac{x^{5}}{25} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Podemos escrever a resposta numa forma fatorada, que às vezes fica mais elegante:
\int x^{4}\ln x\,dx = \frac{x^{5}}{25}\bigl(5\ln x - 1\bigr) + C.

Resposta

\dfrac{x^{5}}{5}\ln x - \dfrac{x^{5}}{25} + C

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