Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas relevantes:
- A integranda é
. - A variável de integração é
. - Como aparece
, para a versão real usual devemos considerar (ou trocar por se quiser a extensão para ). - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vamos aprender e entender essa técnica passo a passo.
Regra (fórmula) da integração por partes:
Explicação do porquê: vem da regra do produto da diferenciação. Se
e
são funções diferenciáveis então
Integrando ambos os lados obtemos
e reorganizando chega-se à fórmula acima. Aqui:
-
é uma função que escolhemos para diferenciar ( será sua derivada vezes ); -
é a parte que escolhemos para integrar (obtemos integrando ).
Regra prática para escolher
: escolher algo que fique mais simples ao derivar (por exemplo
fica
), enquanto
deve ser fácil de integrar (potências de
são fáceis).
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: para
escolhemos
Justificativa:
fica mais simples ao derivar e
é fácil de integrar. Essa escolha reduz o problema a calcular uma integral polinomial simples.
Passo 4
Calcular
e
:
Derivada de
:
Integral de
:
porque vale a fórmula geral
para
.
Passo 5
Substituir na fórmula da integração por partes:
Calculando cada termo:
e
pois
.
Passo 6
Calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos escrever a resposta numa forma fatorada, que às vezes fica mais elegante: