Calcule as seguintes integrais curvilíneas ao longo da curva C :
\int_{C} x z d x+(y+z) d y+x z d z
C : parametrizado por x=e^{t}, y=e^{-t}, z=e^{2 t} com 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} xz\,dx + (y+z)\,dy + xz\,dz
ao longo da curva C dada pela parametrização
x(t)=e^t,\quad y(t)=e^{-t},\quad z(t)=e^{2t},\quad 0\le t\le1.
O conteúdo envolve escrever P(x,y,z)=xz, Q(x,y,z)=y+z, R(x,y,z)=xz e então usar
\int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz =\int_{0}^{1}\bigl[P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\bigr]dt.

Passo 2

Substituímos na parametrização para obter as componentes do campo ao longo de C:
P(t)=x(t)z(t)=e^t\cdot e^{2t}=e^{3t},
Q(t)=y(t)+z(t)=e^{-t}+e^{2t},
R(t)=x(t)z(t)=e^{3t}.

Passo 3

Calculamos as derivadas das coordenadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}e^t=e^t,
y'(t)=\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t},
z'(t)=\frac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}.

Passo 4

Formamos o integrando
P\,x' + Q\,y' + R\,z' = e^{3t}\cdot e^t + (e^{-t}+e^{2t})(-e^{-t}) + e^{3t}\cdot2e^{2t}.
Isso simplifica para
e^{4t} - e^{-2t} - e^{t} + 2e^{5t}.

Passo 5

Integramos termo a termo de t=0 a t=1:
\int_{0}^{1}e^{4t}dt =\frac{1}{4}\bigl(e^{4}-1\bigr),
\int_{0}^{1}-e^{-2t}dt =\frac{1}{2}\bigl(e^{-2}-1\bigr),
\int_{0}^{1}-e^{t}dt =-(e-1),
\int_{0}^{1}2e^{5t}dt =\frac{2}{5}\bigl(e^{5}-1\bigr).

Passo 6

Somando tudo, temos
\frac{1}{4}(e^{4}-1) +\frac{1}{2}(e^{-2}-1) -(e-1) +\frac{2}{5}(e^{5}-1).
Reagrupando termos exponenciais e constantes, obtemos
\frac{2}{5}e^{5}+\frac{1}{4}e^{4}-e+\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{3}{20}.

Resposta

\int_{C} xz\,dx + (y+z)\,dy + xz\,dz =\frac{2}{5}e^{5}+\frac{1}{4}e^{4}-e+\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{3}{20}.

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