Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha do campo vetorial
entre os pontos
e
é independente do caminho e calcular o seu valor.
O conteúdo necessário é verificar se o campo é conservativo (isto é, exato) e então encontrar uma função potencial .
O conteúdo necessário é verificar se o campo é conservativo (isto é, exato) e então encontrar uma função potencial
Passo 2
Para checar se o campo é exato, comparamos as derivadas parciais
Como
e o domínio (
) é simplesmente conexo, o campo é conservativo e a integral independe do caminho.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
, obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Para determinar , usamos
Para determinar
Isso implica
, logo
é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero.
Portanto
Portanto
Passo 4
Como a integral independe do caminho, vale
Calculamos
Logo o valor da integral é
.