Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor:
\int_{(-1,0)}^{(2,-2)} 2 x y^{3} d x+3 y^{2} x^{2} d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha do campo vetorial
(P,Q) = \bigl(2x y^{3},\,3y^{2}x^{2}\bigr)
entre os pontos (-1,0) e (2,-2) é independente do caminho e calcular o seu valor.
O conteúdo necessário é verificar se o campo é conservativo (isto é, exato) e então encontrar uma função potencial F(x,y).

Passo 2

Para checar se o campo é exato, comparamos as derivadas parciais
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x y^{3}\bigr) = 6x y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}x^{2}\bigr) = 6x y^{2}.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x e o domínio ( \mathbb{R}^2) é simplesmente conexo, o campo é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = P = 2x y^{3}.
Integrando em relação a x, obtemos
F(x,y) = \int 2x y^{3}\,dx = x^{2}y^{3} + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Para determinar g(y), usamos
\frac{\partial F}{\partial y} = 3x^{2}y^{2} + g'(y) \stackrel{!}{=} Q = 3y^{2}x^{2}.
Isso implica g'(y)=0, logo g(y) é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero.
Portanto
F(x,y) = x^{2}y^{3}.

Passo 4

Como a integral independe do caminho, vale
\int_{(-1,0)}^{(2,-2)} P\,dx + Q\,dy = F\bigl(2,-2\bigr) - F\bigl(-1,0\bigr).
Calculamos
F(2,-2) = 2^{2}\,(-2)^{3} = 4\cdot(-8) = -32,
F(-1,0) = (-1)^{2}\,0^{3} = 0.
Logo o valor da integral é -32.

Resposta

-32

Exercícios relacionados