(a) Mostre que a integral de linha
é independente do caminho.
(b) Calcule a integral ao longo do segmento de reta de
para
.
(c) Calcule a integral
usando a função potencial para confirmar que o valor é o mesmo obtido na parte b).
(b) Calcule a integral ao longo do segmento de reta de
(c) Calcule a integral
Passo 1
O enunciado trata da integral de linha
e pede: (a) mostrar que ela é independente do caminho (isto é, que a forma diferencial é exata); (b) calcular essa integral ao longo do segmento de reta de
a
; (c) calcular novamente usando a função potencial, confirmando o valor de (b). O conteúdo envolvido é forma exata e potencial de campos vetoriais em
.
Passo 2
Para verificar a exatidão da forma
onde
e
, calculamos as derivadas parciais:
Como
em todo
(domínio simplesmente conexo), a forma é exata e a integral independe do caminho.
Passo 3
Parametrizamos o segmento de reta de
a
por
Então
e a integral fica
Expandindo:
Somando, o integrando é
logo
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em
, obtemos
Derivando em
:
Podemos tomar
. Então, para qualquer caminho de
a
,
Resposta
(a) A forma é exata, pois
, logo a integral independe do caminho.
(b) Ao longo do segmento de reta de a
, o valor da integral é
.
(c) Usando a função potencial , obtemos
, confirmando o resultado de (b).
(b) Ao longo do segmento de reta de
(c) Usando a função potencial