(a) Mostre que a integral de linha \int_{C} y^{2} d x+2 x y d y é independente do caminho.
(b) Calcule a integral ao longo do segmento de reta de (-1,2) para (1,3).
(c) Calcule a integral \int_{(-1,2)}^{(1,3)} y^{2} d x+2 x y d y usando a função potencial para confirmar que o valor é o mesmo obtido na parte b).

Passo 1

O enunciado trata da integral de linha
\int_{C} y^{2}\,dx + 2xy\,dy
e pede: (a) mostrar que ela é independente do caminho (isto é, que a forma diferencial é exata); (b) calcular essa integral ao longo do segmento de reta de (-1,2) a (1,3); (c) calcular novamente usando a função potencial, confirmando o valor de (b). O conteúdo envolvido é forma exata e potencial de campos vetoriais em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Para verificar a exatidão da forma
\omega = P\,dx + Q\,dy,
onde P(x,y)=y^2 e Q(x,y)=2xy, calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2)=2y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo), a forma é exata e a integral independe do caminho.

Passo 3

Parametrizamos o segmento de reta de (-1,2) a (1,3) por
\mathbf r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=(-1+2t,\;2+t),\quad t\in[0,1].
Então
dx=2\,dt,\quad dy=1\,dt,
e a integral fica
\int_{0}^{1}\Bigl[(2+t)^{2}\cdot 2 \;+\;2(-1+2t)(2+t)\cdot1\Bigr]dt.
Expandindo:
(2+t)^{2}=t^{2}+4t+4\implies 2(2+t)^{2}=2t^{2}+8t+8,
2(-1+2t)(2+t)=-4+6t+4t^{2}.
Somando, o integrando é
6t^{2}+14t+4,
logo
\int_{0}^{1}(6t^{2}+14t+4)\,dt =\bigl[2t^{3}+7t^{2}+4t\bigr]_{0}^{1} =2+7+4=13.

Passo 4

Procuramos uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P=y^{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q=2xy.
Integrando \partial f/\partial x=y^2 em x, obtemos
f(x,y)=x\,y^{2}+h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial f}{\partial y}=2xy + h'(y)\stackrel{!}{=}2xy \implies h'(y)=0\implies h(y)=\text{const}.
Podemos tomar f(x,y)=x\,y^{2}. Então, para qualquer caminho de (-1,2) a (1,3),
\int y^{2}\,dx + 2xy\,dy =f(1,3)-f(-1,2) =1\cdot 3^{2} - \bigl(-1\cdot 2^{2}\bigr) =9 - (-4) =13.

Resposta

(a) A forma é exata, pois \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x=2y, logo a integral independe do caminho.
(b) Ao longo do segmento de reta de (-1,2) a (1,3), o valor da integral é 13.
(c) Usando a função potencial f(x,y)=x\,y^{2}, obtemos f(1,3)-f(-1,2)=13, confirmando o resultado de (b).

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