Seja a_{n} o número de regiões ilimitadas em que um plano é dividido por n retas tais que a interseção de qualquer subconjunto de k retas (k \geq 2) só é diferente de vazio para k=2. Monte e resolva uma relação de recorrência para a_{n}.

Passo 1

O enunciado define a_{n} como o número de regiões ilimitadas em que o plano é dividido por n retas, sob a condição de que a interseção de qualquer subconjunto de k retas ( k\ge 2) só é diferente de vazio para k=2. Ou seja:
  • Cada par de retas se intersecta em um ponto distinto.
  • Não há retas paralelas e não há três (ou mais) retas concorrentes no mesmo ponto.
O que o problema pede:
  • Montar uma relação de recorrência que determine a_{n}.
  • Resolver essa relação (obter a fórmula fechada para a_{n}).
Informações relevantes dadas:
  • Para n retas em posição geral (sem paralelas e sem três concorrentes), cada nova reta intersecta todas as anteriores em pontos distintos; a n-ésima reta tem exatamente n-1 pontos de interseção com as anteriores.

Passo 2

Ideia de resolução (estratégia): construir as retas uma a uma e analisar quanto a quantidade de regiões ilimitadas aumenta quando acrescentamos a reta n. Esse é um método padrão de recorrência por adição incremental: comparar a configuração com n-1 retas e com n retas e contar quantas regiões ilimitadas surgem ao inserir a nova reta.
Antes de contar, vamos definir claramente “região ilimitada”: é uma região do plano que não é limitada — isto é, que se estende até o infinito. Visualmente, é uma região que tem pelo menos um “ramo” que vai ao infinito.

Passo 3

Casos iniciais (base):
  • Para n=0 (nenhuma reta), o plano inteiro é uma única região ilimitada. Logo
a_{0}=1.
  • Para n=1 (uma reta), a reta divide o plano em duas metades, ambas ilimitadas. Logo
a_{1}=2.
Esses casos servem para fixar condições iniciais da recorrência.

Passo 4

Contagem do acréscimo ao inserir a reta n (para n\ge 2) — argumento detalhado e didático:
Quando adicionamos a n-ésima reta, ela intersecta cada uma das n-1 retas já existentes em pontos distintos (pela hipótese do enunciado). Esses n-1 pontos dividem a nova reta em n segmentos consecutivos ao longo dela: há n-2 segmentos internos (entre dois pontos de interseção) e 2 semirretas externas (uma de cada extremidade), que são infinitas.
  • Cada um dos n-2 segmentos internos fica “entre” duas interseções; esses segmentos ficam contidos em regiões que são limitadas pelo arranjo das retas, portanto, quando a reta corta essas regiões ela as subdivide, criando regiões novas que normalmente são limitadas. Assim, esses cortes internos não aumentam o número de regiões ilimitadas do plano.
  • As 2 semirretas externas da n-ésima reta (as duas extremidades que vão até o infinito) entram em regiões que tocavam o infinito e as dividem em duas cada uma. Cada semirreta externa, ao atravessar uma região ilimitada já existente, cria exatamente mais uma região ilimitada. Logo as duas extremidades juntas acrescentam exatamente 2 regiões ilimitadas.
Portanto, ao inserir a n-ésima reta (para n\ge 2) o número de regiões ilimitadas aumenta em 2.

Passo 5

Escrevendo a recorrência e resolvendo-a:
A partir da observação do passo anterior, para n\ge 2 vale a recorrência
a_{n}=a_{n-1}+2.
Como condição inicial usamos a_{1}=2.
Resolver essa recorrência é simples: é uma progressão aritmética com razão 2. Podemos escrever a solução fechada somando 2 repetidas vezes:
a_{n}=a_{1}+2(n-1)=2+2(n-1)=2n,
para todo n\ge 1.
Podemos também provar por indução que a_{n}=2n para n\ge1:
  • Base: para n=1, a_{1}=2=2\cdot1.
  • Passo indutivo: suponha a_{k}=2k. Então pela recorrência
a_{k+1}=a_{k}+2=2k+2=2(k+1).
Logo vale para k+1. Assim, por indução, a_{n}=2n para todo n\ge1.
Observação final: mantemos a_{0}=1 como caso especial (a fórmula 2n não vale para n=0).

Resposta

Relação de recorrência: \;a_{n}=a_{n-1}+2\; para \;n\ge 2\;, com condição inicial \;a_{1}=2.
Solução fechada: \;a_{n}=2n\; para \;n\ge 1\;.
Além disso, \;a_{0}=1.\

Exercícios relacionados