Calcule os limites abaixo.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função base é
. - O expoente é
. - Ao aproximar
de temos e , portanto o expoente . - Logo a expressão apresenta a forma indeterminada do tipo
.
Passo 2
Estratégia para lidar com a forma
: tomar logaritmo para transformar a potência em produto e calcular o limite do logaritmo. Se o limite do logaritmo existir e for finito, então o limite da expressão original é a exponencial desse valor.
Defina
Se
, então
Vamos calcular esse limite à direita e depois aplicar
.
Passo 3
Para calcular
usamos aproximações para pequenas
(séries de Taylor básicas). As expansões úteis são:
Aqui tome
. Então, quando
,
Passo 4
Agora aplique a expansão do
com
. Como
é pequeno, tem-se
ou mais explicitamente
Também sabemos que
Dividindo,
Como
, o termo à direita tende a
. Portanto
Passo 5
Concluímos que
. Assim
Comentário didático rápido e exemplo: isso é típico de formas
. Outro exemplo clássico é
onde a mesma ideia (tomar logaritmo e usar aproximação
) resolve o limite.