Calcule os limites abaixo.
(f) \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos 3 x)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} (\cos 3x)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função base é \cos 3x.
  • O expoente é \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}.
  • Ao aproximar x de 0^{+} temos \cos 3x \to 1 e \operatorname{sen} x \to 0^{+}, portanto o expoente \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}\to +\infty.
  • Logo a expressão apresenta a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.

Passo 2

Estratégia para lidar com a forma 1^{\infty}: tomar logaritmo para transformar a potência em produto e calcular o limite do logaritmo. Se o limite do logaritmo existir e for finito, então o limite da expressão original é a exponencial desse valor.
Defina
L=\lim_{x\to 0^{+}} (\cos 3x)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}.
Se L>0, então
\ln L = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\cos 3x)}{\operatorname{sen} x}.
Vamos calcular esse limite à direita e depois aplicar L=e^{\ln L}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln(\cos 3x)}{\operatorname{sen} x} usamos aproximações para pequenas x (séries de Taylor básicas). As expansões úteis são:
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2})\quad\text{quando }t\to 0,
\ln(1+u) = u + o(u)\quad\text{quando }u\to 0.
Aqui tome t=3x. Então, quando x\to 0,
\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^{2}}{2} + o(x^{2}) = 1 - \frac{9}{2}x^{2} + o(x^{2}).

Passo 4

Agora aplique a expansão do \ln com u=\cos 3x - 1. Como u = -\dfrac{9}{2}x^{2} + o(x^{2}) é pequeno, tem-se
\ln(\cos 3x) = \ln\bigl(1 + (\cos 3x -1)\bigr) = (\cos 3x -1) + o(\cos 3x -1)
ou mais explicitamente
\ln(\cos 3x) = -\frac{9}{2}x^{2} + o(x^{2}).
Também sabemos que
\operatorname{sen} x = x + o(x).
Dividindo,
\frac{\ln(\cos 3x)}{\operatorname{sen} x}=\frac{-\dfrac{9}{2}x^{2}+o(x^{2})}{x+o(x)} = -\frac{9}{2}x + o(x).
Como x\to 0^{+}, o termo à direita tende a 0. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\cos 3x)}{\operatorname{sen} x}=0.

Passo 5

Concluímos que \ln L=0. Assim
L = e^{0}=1.
Comentário didático rápido e exemplo: isso é típico de formas 1^{\infty}. Outro exemplo clássico é
\lim_{t\to 0} (1+t)^{1/t}=e,
onde a mesma ideia (tomar logaritmo e usar aproximação \ln(1+t)\simeq t) resolve o limite.

Resposta

1

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