Calcule as seguintes integrais definidas:
integral2^7 2 x+12 x^2+3 x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^7 2x+12x^2+3x-2,dx
O conteúdo principal aqui é a integração de uma função racional, que vamos resolver por frações parciais e depois usar propriedades de logaritmos para avaliar o valor entre os limites.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador quadrático. Note que
2x^2+3x-2 = (2x-1)(x+2)
Isso porque as raízes são x=tfrac12 e x=-2.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
Igualando coeficientes:
solução

Passo 4

Reescrevendo a integral com esses valores:
integral 2x+12x^2+3x-2,dx = 45integral dx2x-1 + 35integral dxx+2
Sabemos que
integral dx2x-1 = 12lnl|2x-1r|, integral dxx+2 = lnl|x+2r|
Logo, a antiderivada é
45cdot12ln|2x-1| + 35ln|x+2| = 25ln|2x-1| + 35ln|x+2|

Passo 5

Agora aplicamos os limites de 2 a 7:
[25ln|2x-1| + 35ln|x+2|]2^7 = 25l(ln13 - ln3r) + 35l(ln9 - ln4r)
Reagrupando em logaritmos de quociente:
25ln!l(tfrac133r) + 35ln!l(tfrac94r)

Resposta

integral2^7 2x+12x^2+3x-2,dx = 25ln!l(133r) + 35ln!l(94r)

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