Calcule as seguintes integrais definidas:
integral2^7 2 x^3+1x^2+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^7 2x^3+1x^2+x,dx
O conteúdo é integração de função racional. Vamos precisar fazer divisão polinomial para simplificar o integrando e, depois, usar frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de 2x^3+1 por x^2+x:
2x^3+1 = (x^2+x),(2x-2) + (2x+1)
Logo,
2x^3+1x^2+x = 2x - 2 + 2x+1x(x+1)

Passo 3

Decompondo 2x+1x(x+1) em frações parciais:
2x+1x(x+1) = Ax + Bx+1
Temos 2x+1 = A(x+1)+Bx = (A+B)x + A. Comparando coeficientes:
A + B = 2, A = 1 ;Longrightarrow; B = 1
Portanto
2x+1x(x+1) = 1x + 1x+1
Assim o integrando fica
2x - 2 + 1x + 1x+1

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral l(2x - 2 + 1x + 1x+1r),dx = x^2 - 2x + lnl|xr| + lnl|x+1r| + C

Passo 5

Definimos
F(x) = x^2 - 2x + lnl(x(x+1)r)
Calculamos
F(7) = 7^2 - 2cdot7 + ln(7cdot8) = 49 - 14 + ln(56) = 35 + ln(56),
F(2) = 2^2 - 2cdot2 + ln(2cdot3) = 4 - 4 + ln(6) = ln(6)
Logo a integral vale
F(7) - F(2) = l(35 + ln(56)r) - ln(6) = 35 + ln!l(tfrac566r) = 35 + ln!l(tfrac283r)

Resposta

35 + ln!l(tfrac283r)

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