Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} \frac{2 x-1}{\left(x^{2}-x+5\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{2x-1}{\bigl(x^{2}-x+5\bigr)^{3}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que o numerador 2x-1 é exatamente a derivada da expressão do denominador x^{2}-x+5.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}-x+5,
então
du = (2x-1)\,dx.
Assim, dx\,(2x-1)=du e o integrando fica simplesmente u^{-3}\,du.

Passo 3

Precisamos mudar os limites de integração:
Para x=0, temos
u(0)=0^{2}-0+5=5,
e para x=1, temos
u(1)=1^{2}-1+5=5.
Logo a integral em u é
\int_{u(0)=5}^{u(1)=5} u^{-3}\,du.

Passo 4

Como os limites de integração são iguais, qualquer integral definida entre o mesmo valor de extremidades é zero, independentemente do integrando. Portanto
\int_{5}^{5}u^{-3}\,du = 0.

Resposta

0

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