Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{2}^{3} \frac{2 x-1}{x^{2}-x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{2}^{3}\frac{2x-1}{x^{2}-x+5}\,dx
O conteúdo aqui é reconhecer uma substituição simples: a derivada do denominador aparece no numerador, o que nos leva à forma \frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 2

Observe que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x+5\bigr)=2x-1.
Logo o numerador da integral é exatamente a derivada do denominador.

Passo 3

Uma vez que a integral tem a forma \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx, o resultado indefinido é
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\bigl|f(x)\bigr| + C.
No nosso caso,
\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+5}\,dx = \ln\bigl(x^{2}-x+5\bigr) + C.

Passo 4

Avaliamo-la entre x=2 e x=3:
\Bigl[\ln\bigl(x^{2}-x+5\bigr)\Bigr]_{2}^{3} =\ln\bigl(3^{2}-3+5\bigr)-\ln\bigl(2^{2}-2+5\bigr) =\ln(11)-\ln(7) =\ln\!\Bigl(\tfrac{11}{7}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\Bigl(\tfrac{11}{7}\Bigr)

Exercícios relacionados