Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{1} x \sqrt[3]{x^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} x \sqrt[3]{x^{2}+4}\,dx.
Como o intervalo de integração é simétrico em torno de zero, vamos usar a propriedade de funções pares e ímpares.

Passo 2

Defina
f(x) = x \sqrt[3]{x^{2}+4}.
Note que x é função ímpar e \sqrt[3]{x^{2}+4} é função par (depende de x^{2}). Logo,
f(-x) = -x \,\sqrt[3]{(-x)^{2}+4} = -x\,\sqrt[3]{x^{2}+4} = -f(x),
ou seja, f é ímpar.

Passo 3

Para toda função ímpar f e intervalo simétrico [-a,a] vale
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Aqui a=1, portanto
\int_{-1}^{1} x \sqrt[3]{x^{2}+4}\,dx = 0.

Resposta

0

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