Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right)^{3} \cdot 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{2} (x^{2} + 1)^{3} \cdot 2x \, dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois o fator 2x\,dx sugere a derivada de x^{2}+1.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variável
u = x^{2} + 1, \quad du = 2x \, dx.
Os limites de integração mudam de x para u: quando x=0, u=1; quando x=2, u=5.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{2} (x^{2} + 1)^{3} \cdot 2x \, dx = \int_{1}^{5} u^{3} \, du,
cuja primitiva é \tfrac{u^{4}}{4}.

Passo 4

Avaliaremos a primitiva entre u=1 e u=5:
\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{1}^{5} = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{625 - 1}{4} = \frac{624}{4} = 156.

Resposta

156

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