Exemplo 5: Calcule a área total entre a curva y=x^{2}-2 x e o eixo x sobre o intervalo [0,3].
Passo 1
Resumindo, queremos a área total entre a curva y=x^{2}-2x e o eixo x no intervalo [0,3]. Em cálculo, isso significa integrar o valor absoluto de x^{2}-2x, ou seja,
A=\int_{0}^{3}\bigl|x^{2}-2x\bigr|\,dx.
Para resolver, vamos:
Encontrar onde a curva corta o eixo y=0.
Verificar o sinal de x^{2}-2x em cada subintervalo.
Calcular as integrais apropriadas e somar as áreas (sempre positivas).
Passo 2
Resolvendo x^{2}-2x=0 para achar os pontos de interseção:
x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;x=2.
Passo 3
Analisando o sinal de y=x^{2}-2x em cada parte de [0,3]:
Em 0<x<2, escolhemos x=1: 1^{2}-2\cdot1=-1<0. Então ali a curva está abaixo do eixo x.
Em 2<x\le3, escolhemos x=3: 3^{2}-2\cdot3=3>0. Então ali a curva está acima do eixo.
Passo 4
Podemos escrever a área total como soma de duas integrais sem valor absoluto, invertendo o sinal onde a função é negativa:
A \;=\; -\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx \;+\;\int_{2}^{3}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx.