Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{1} \sqrt{|x|} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} \sqrt{|x|}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{integrando: }\sqrt{|x|},\qquad \text{intervalo de integração: }[-1,1].çã
Não há outras condições; a função envolve valor absoluto dentro da raiz, o que indica que o comportamento de \sqrt{|x|} muda em x=0.

Passo 2

Entender o valor absoluto e como isso afeta a função é fundamental. Lembre que
|x|=\begin{cases} -x,&x<0,\\[4pt] x,&x\ge 0. \end{cases}
Portanto
\sqrt{|x|}=\begin{cases} \sqrt{-x},&x<0,\\[4pt] \sqrt{x},&x\ge 0. \end{cases}
Ou seja, para x negativo usamos \sqrt{-x} e para x não negativo usamos \sqrt{x}. Observação útil: a função \sqrt{|x|} é par (mesmo), isto é, \sqrt{|{-x}|}=\sqrt{|x|}.]

Passo 3

Como a expressão muda em x=0, é natural separar a integral em duas partes:
\int_{-1}^{1} \sqrt{|x|}\,dx=\int_{-1}^{0} \sqrt{|x|}\,dx+\int_{0}^{1} \sqrt{|x|}\,dx.
Usando a definição por partes do passo anterior isso vira
\int_{-1}^{1} \sqrt{|x|}\,dx=\int_{-1}^{0} \sqrt{-x}\,dx+\int_{0}^{1} \sqrt{x}\,dx.

Passo 4

Calcule a integral do lado positivo. Vou usar a regra de potências para primitiva: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui \sqrt{x}=x^{1/2}, logo p=\tfrac{1}{2} e a primitiva é
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Aplicando aos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Calcule a integral do lado negativo. Faço a substituição simples u=-x para transformar a raiz:
quando x=-1 temos u=1; quando x=0 temos u=0; e du=-dx. Assim
\int_{-1}^{0}\sqrt{-x}\,dx=\int_{1}^{0}\sqrt{u}\,(-du)=\int_{0}^{1}\sqrt{u}\,du.
Mas essa última integral é a mesma que a do passo anterior, então
\int_{-1}^{0}\sqrt{-x}\,dx=\frac{2}{3}.
(Alternativa rápida: pela paridade da função, a integral sobre [-1,0] é igual à integral sobre [0,1].)

Passo 6

Some as duas contribuições:
\int_{-1}^{1}\sqrt{|x|}\,dx=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Pequeno incentivo: deu trabalho por causa do valor absoluto, mas o truque foi quebrar em [-1,0] e [0,1] ou usar que a função é par — isso resolve muitas integrais desse tipo.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

Exercícios relacionados