Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{1} e^{-|x|} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é e^{-|x|}.
  • Os limites de integração são simétricos em torno de zero: de -1 até 1.
  • Sabemos que a função valor absoluto satisfaz as fórmulas |x|=-x para x<0 e |x|=x para x\ge 0. Essas informações fornecem o que precisamos para prosseguir.

Passo 2

Entendendo a expressão peça a peça: use a definição de valor absoluto para escrever o integrando de forma “sem o | |” em cada subintervalo.
  • Para x\in[-1,0) temos |x|=-x, então
e^{-|x|}=e^{-(-x)}=e^{x}.
  • Para x\in[0,1] temos |x|=x, então
e^{-|x|}=e^{-x}.
Portanto a função é dada por duas expressões, uma em cada metade do intervalo simétrico.

Passo 3

Usando simetria (propriedade de função par): a função f(x)=e^{-|x|} é par, pois
f(-x)=e^{-|-x|}=e^{-|x|}=f(x).
Para funções pares integráveis em intervalos simétricos vale a propriedade
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Aplicando aqui com a=1 obtemos
\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\,dx = 2\int_{0}^{1} e^{-|x|}\,dx.
(Isto também pode ser visto somando explicitamente as integrais em [-1,0] e [0,1] e verificando que são iguais.)

Passo 4

Calcular a integral no intervalo [0,1]. Para x\ge0 temos e^{-|x|}=e^{-x}. Usamos a primitiva da exponencial: para constante a\neq 0,
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C.
Aqui a=-1, então \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C.
Agora avaliamos a integral definida:
\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx = \big[-e^{-x}\big]_{0}^{1} = \big(-e^{-1}\big)-\big(-e^{0}\big) = 1 - e^{-1}.

Passo 5

Pelo Passo 3 temos que a integral total é o dobro da anterior:
\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\,dx = 2\left(1 - e^{-1}\right).
Podemos escrever de forma equivalente simplificada:
2\left(1 - e^{-1}\right)=2 - \frac{2}{e}.

Resposta

2\left(1 - e^{-1}\right)

Exercícios relacionados