Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - Os limites de integração são simétricos em torno de zero: de
até . - Sabemos que a função valor absoluto satisfaz as fórmulas
para e para . Essas informações fornecem o que precisamos para prosseguir.
Passo 2
Entendendo a expressão peça a peça: use a definição de valor absoluto para escrever o integrando de forma “sem o | |” em cada subintervalo.
- Para
temos , então
- Para
temos , então
Portanto a função é dada por duas expressões, uma em cada metade do intervalo simétrico.
Passo 3
Usando simetria (propriedade de função par): a função
é par, pois
Para funções pares integráveis em intervalos simétricos vale a propriedade
Aplicando aqui com
obtemos
(Isto também pode ser visto somando explicitamente as integrais em
e
e verificando que são iguais.)
Passo 4
Calcular a integral no intervalo
. Para
temos
. Usamos a primitiva da exponencial: para constante
,
Aqui
, então
.
Agora avaliamos a integral definida:
Passo 5
Pelo Passo 3 temos que a integral total é o dobro da anterior:
Podemos escrever de forma equivalente simplificada: