Calcule o valor da integral \int_{0}^{3} \frac{x-2}{x^{3}-3 x^{2}} d x :
(a) 0
(b) \infty
(c) 1
(d) não existe
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{3}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx
e oferece as alternativas (a) 0, (b) \infty, (c) 1, (d) não existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado que precisamos notar imediatamente:
x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3),
ou seja, o denominador se anula em \,x=0 (raiz de multiplicidade 2) e em \,x=3. Esses pontos estão exatamente nas extremidades do intervalo de integração [0,3]. Portanto trata-se de uma integral imprópria com singularidades em ambos os extremos.
Passo 2
Antes de calcular qualquer coisa, preciso explicar como lidamos com integrais impróprias quando há singularidades nas extremidades. A definição padrão é: escolha um ponto interior c\in(0,3) (por exemplo c=1) e escreva
desde que ambos os limites existam (finito). Se pelo menos um dos dois limites divergir (para \pm\infty) então a integral imprópria não converge no sentido usual. É importante: se um limite vai para +\infty e o outro para -\infty, a soma é indeterminada e a integral, no sentido normal, “não existe”. (Existe conceito de valor principal de Cauchy, mas isso é outra coisa.)
Passo 3
Para analisar os comportamentos nas extremidades, faço decomposição em frações parciais. Quero escrever
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-3)\) obtenho a identidade polinomial
\[x-2 = A x(x-3) + B(x-3) + C x^{2}.
Expandindo os termos do lado direito:
x-2 = (A+C)x^{2}+(-3A+B)x+(-3B).
Comparando coeficientes com x-2 = 0\cdot x^{2}+1\cdot x+(-2) dá o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ -3A + B = 1,\\\\ -3B = -2. \end{cases}
Da terceira equação vem B=\dfrac{2}{3}\]. Substituindo na segunda:
\[-3A + \frac{2}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad -3A = 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{9}.\]
Então \(C=-A=\dfrac{1}{9}. Assim a decomposição é
Estudo o comportamento da integral na vizinhança de x=0. Usando a decomposição notamos que o termo dominante quando x\to0^{+} é \dfrac{2}{3}\dfrac{1}{x^{2}}. Isso dá uma divergência do tipo 1/x^{2}. Para ver claramente, tome c=1 e calcule
O termo mais importante quando a\to0^{+} é \dfrac{2}{3a} vindo de -\dfrac{2}{3x} avaliado em x=a; aparece com sinal positivo porque subtraímos F(a). Assim
Ou seja, a integral do lado direito (perto de 3) diverge para -\infty. Note que aqui a divergência é logarítmica (mais fraca que 1/x^{2}), mas ainda assim é divergência para -\infty.
Passo 7
Resumo do que aconteceu: ao dividir a integral em duas partes em torno de um ponto interior c temos que a primeira parte (do lado de 0) diverge para +\infty e a segunda parte (do lado de 3) diverge para -\infty. Pelo critério de convergência de integrais impróprias, para que a integral sobre [0,3] exista (seja finita) ambas as partes teriam de convergir para números reais. Aqui isso não ocorre. Também não podemos afirmar que a integral vale +\infty nem -\infty, porque as duas metades divergem com sinais opostos — a soma +\infty + (-\infty) é indeterminada no sentido usual de integrais improprias. (Existe o conceito de valor principal de Cauchy que poderia, em alguns casos, dar um valor finito se as divergências “cancelassem” de forma simétrica; aqui não estamos pedindo o valor principal.)
Portanto a integral imprópria não converge no sentido usual: ela não existe.