Calcule o valor da integral \int_{0}^{3} \frac{x-2}{x^{3}-3 x^{2}} d x :
(a) 0
(b) \infty
(c) 1
(d) não existe

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{3}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx
e oferece as alternativas (a) 0, (b) \infty, (c) 1, (d) não existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado que precisamos notar imediatamente:
x^{3}-3x^{2}=x^{2}(x-3),
ou seja, o denominador se anula em \,x=0 (raiz de multiplicidade 2) e em \,x=3. Esses pontos estão exatamente nas extremidades do intervalo de integração [0,3]. Portanto trata-se de uma integral imprópria com singularidades em ambos os extremos.

Passo 2

Antes de calcular qualquer coisa, preciso explicar como lidamos com integrais impróprias quando há singularidades nas extremidades. A definição padrão é: escolha um ponto interior c\in(0,3) (por exemplo c=1) e escreva
\int_{0}^{3}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx = \lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{c}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx + \lim_{b\to3^{-}}\int_{c}^{b}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx,
desde que ambos os limites existam (finito). Se pelo menos um dos dois limites divergir (para \pm\infty) então a integral imprópria não converge no sentido usual. É importante: se um limite vai para +\infty e o outro para -\infty, a soma é indeterminada e a integral, no sentido normal, “não existe”. (Existe conceito de valor principal de Cauchy, mas isso é outra coisa.)

Passo 3

Para analisar os comportamentos nas extremidades, faço decomposição em frações parciais. Quero escrever
\frac{x-2}{x^{2}(x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-3}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-3)\) obtenho a identidade polinomial \[x-2 = A x(x-3) + B(x-3) + C x^{2}.
Expandindo os termos do lado direito:
x-2 = (A+C)x^{2}+(-3A+B)x+(-3B).
Comparando coeficientes com x-2 = 0\cdot x^{2}+1\cdot x+(-2) dá o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ -3A + B = 1,\\\\ -3B = -2. \end{cases}
Da terceira equação vem B=\dfrac{2}{3}\]. Substituindo na segunda: \[-3A + \frac{2}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad -3A = 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{9}.\] Então \(C=-A=\dfrac{1}{9}. Assim a decomposição é
\frac{x-2}{x^{2}(x-3)}=-\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x-3}.

Passo 4

Agora integro termo a termo (é o truque: transforma em termos cuja integral conhecemos). As primárias integrais que usamos são:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|,\qquad \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x},\qquad \int\frac{1}{x-3}\,dx=\ln|x-3|.
Portanto uma primitiva F(x) do integrando é
F(x)=-\frac{1}{9}\ln|x|+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{9}\ln|x-3|.
Organizando:
F(x)=\frac{1}{9}\ln\!\left|\frac{x-3}{x}\right|-\frac{2}{3x}.

Passo 5

Estudo o comportamento da integral na vizinhança de x=0. Usando a decomposição notamos que o termo dominante quando x\to0^{+} é \dfrac{2}{3}\dfrac{1}{x^{2}}. Isso dá uma divergência do tipo 1/x^{2}. Para ver claramente, tome c=1 e calcule
\int_{a}^{1}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx = F(1)-F(a).
Usando a expressão de F:
F(1)-F(a) = \left(\frac{1}{9}\ln\!\left|\frac{1-3}{1}\right|-\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{1}{9}\ln\!\left|\frac{a-3}{a}\right|-\frac{2}{3a}\right).
O termo mais importante quando a\to0^{+} é \dfrac{2}{3a} vindo de -\dfrac{2}{3x} avaliado em x=a; aparece com sinal positivo porque subtraímos F(a). Assim
\int_{a}^{1}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx \sim \frac{2}{3a}\quad\text{quando }a\to0^{+},
e portanto
\lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{1}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx=+\infty.
Conclusão: a integral imprópria no lado esquerdo (perto de 0) diverge para +\infty.

Passo 6

Agora estudamos a vizinhança de x=3 pela direita do ponto c=1. Considere
\int_{1}^{b}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx = F(b)-F(1).
Quando b\to3^{-} a parte relevante de F(b) é o termo logarítmico \dfrac{1}{9}\ln|b-3|, porque \ln|b-3|\to-\infty. Especificamente,
F(b)\approx \frac{1}{9}\ln|b-3|+\text{(termos finitos)},
e como \ln|b-3|\to -\infty quando b\to3^{-}, segue que
\lim_{b\to3^{-}}\int_{1}^{b}\frac{x-2}{x^{3}-3x^{2}}\,dx = -\infty.
Ou seja, a integral do lado direito (perto de 3) diverge para -\infty. Note que aqui a divergência é logarítmica (mais fraca que 1/x^{2}), mas ainda assim é divergência para -\infty.

Passo 7

Resumo do que aconteceu: ao dividir a integral em duas partes em torno de um ponto interior c temos que a primeira parte (do lado de 0) diverge para +\infty e a segunda parte (do lado de 3) diverge para -\infty. Pelo critério de convergência de integrais impróprias, para que a integral sobre [0,3] exista (seja finita) ambas as partes teriam de convergir para números reais. Aqui isso não ocorre. Também não podemos afirmar que a integral vale +\infty nem -\infty, porque as duas metades divergem com sinais opostos — a soma +\infty + (-\infty) é indeterminada no sentido usual de integrais improprias. (Existe o conceito de valor principal de Cauchy que poderia, em alguns casos, dar um valor finito se as divergências “cancelassem” de forma simétrica; aqui não estamos pedindo o valor principal.)
Portanto a integral imprópria não converge no sentido usual: ela não existe.

Resposta

(d) não existe

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