Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{2} t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de \displaystyle t^2 no intervalo de 1 a 2. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais definidas à antiderivada da função, e a regra de potência para obter essa antiderivada.

Passo 2

Primeiro, encontramos a antiderivada de \displaystyle t^2 usando a regra de potência:
\int t^2 \,dt = \frac{t^{2+1}}{2+1} + C = \frac{t^3}{3} + C.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando a antiderivada em 2 e em 1 e subtraindo:
\left.\frac{t^3}{3}\right|_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

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