Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{2} u \sqrt{u-1} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} u\sqrt{u-1}\,du
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para lidar com raízes do tipo \sqrt{u-1}. Vamos escolher uma substituição que elimine essa raiz e transforme tudo em polinômios fáceis de integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{u-1} \quad\Longrightarrow\quad t^2 = u-1 \quad\Longrightarrow\quad u = t^2 + 1.
Diferenciando,
du = 2t\,dt.
Quando u=1, t=0; quando u=2, t=1. Substituindo na integral:
\int_{1}^{2} u\sqrt{u-1}\,du = \int_{0}^{1} (t^2+1)\,t \cdot (2t\,dt) = 2\int_{0}^{1} (t^2+1)\,t^2\,dt.

Passo 3

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
2\int_{0}^{1}(t^4 + t^2)\,dt = 2\left[\int_{0}^{1}t^4\,dt + \int_{0}^{1}t^2\,dt\right] = 2\Bigl[\tfrac{t^5}{5} + \tfrac{t^3}{3}\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 4

Avaliaremos no intervalo de 0 a 1:
2\Bigl(\tfrac{1^5}{5} + \tfrac{1^3}{3} - 0\Bigr) = 2\Bigl(\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{3}\Bigr) = 2\cdot\tfrac{8}{15} = \tfrac{16}{15}.

Resposta

\int_{1}^{2} u\sqrt{u-1}\,du = \tfrac{16}{15}.

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