Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^pi sin ^7 x cos ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi sin^7x,cos^3x,dx. O conteúdo envolve integrais de potências de funções trigonométricas, e vamos usar a ideia de reescrever uma das funções em termos da outra e então aplicar substituição para simplificar.

Passo 2

Observamos que cos^3x=cos^2x,cos x e que cos^2x=1-sin^2x. Assim podemos escrever
sin^7x,cos^3x=sin^7x,(1-sin^2x),cos x,

Passo 3

Fazendo a substituição t=sin x, temos dt=cos x,dx. Quando x=0, t=0, e quando x=pi, t=0. A integral passa a ser

Passo 4

Como os limites de integração são iguais (de 0 até 0), qualquer integral desse tipo vale zero, pois não há intervalo para acumular área. Logo, o valor da integral é zero.

Resposta

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