Dado o grupo dos complexos (C, cdot), considere o subgrupo dado por S=1,-1, i,-i. Determine o inverso de cada elemento de S. (1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para achar, no subgrupo S={1,−1,i,−i} do grupo multiplicativo dos complexos, o elemento inverso de cada um dos quatro elementos. O conteúdo é teoria de grupo, especificamente a definição de inverso de um elemento.

Passo 2

Na teoria de grupos, dado um elemento a no grupo, seu inverso a^{-1} é aquele que satisfaz a⋅a^{-1}=1, sendo 1 o elemento identidade do grupo multiplicativo.

Passo 3

Para 1, buscamos x tal que 1⋅x=1. Claramente x=1 resolve a equação, então 1^{-1}=1.

Passo 4

Para −1, buscamos x tal que (−1)⋅x=1. Como (−1)⋅(−1)=1, temos (−1)^{-1}=−1.

Passo 5

Para i, buscamos x tal que i⋅x=1. Observando que i⋅(−i)=−i^2=−(−1)=1, concluímos i^{-1}=−i.

Passo 6

Para −i, buscamos x tal que (−i)⋅x=1. Como (−i)⋅i=−i^2=1, segue que (−i)^{-1}=i.

Resposta

1^{-1}=1, (−1)^{-1}=−1, i^{-1}=−i, (−i)^{-1}=i

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