Dado o grupo dos complexos
, considere o subgrupo dado por
. Determine o inverso de cada elemento de
. (1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para achar, no subgrupo S={1,−1,i,−i} do grupo multiplicativo dos complexos, o elemento inverso de cada um dos quatro elementos. O conteúdo é teoria de grupo, especificamente a definição de inverso de um elemento.
Passo 2
Na teoria de grupos, dado um elemento a no grupo, seu inverso a^{-1} é aquele que satisfaz a⋅a^{-1}=1, sendo 1 o elemento identidade do grupo multiplicativo.
Passo 3
Para 1, buscamos x tal que 1⋅x=1. Claramente x=1 resolve a equação, então 1^{-1}=1.
Passo 4
Para −1, buscamos x tal que (−1)⋅x=1. Como (−1)⋅(−1)=1, temos (−1)^{-1}=−1.
Passo 5
Para i, buscamos x tal que i⋅x=1. Observando que i⋅(−i)=−i^2=−(−1)=1, concluímos i^{-1}=−i.
Passo 6
Para −i, buscamos x tal que (−i)⋅x=1. Como (−i)⋅i=−i^2=1, segue que (−i)^{-1}=i.
Resposta
1^{-1}=1, (−1)^{-1}=−1, i^{-1}=−i, (−i)^{-1}=i