Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0^circ C para todo t>0. Em cada um dos itens abaixo, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição de temperatura na barra é a função dada. Suponha alpha^2=1.
(a) u(x, 0)=50,0 Res: u(x, t)=100pi sumn=1^infty 1+(-1)^n+1n e^-n^2 pi^2 t / 1600 sin (n pi x40).

Passo 1

Neste exercício vamos resolver a equação do calor numa barra de comprimento L=40 cm com u(0,t)=u(40,t)=0 para t>0 e condição inicial u(x,0)=50. O conteúdo é separação de variáveis e série de Fourier em funções seno.

Passo 2

Procuramos uma solução da forma
$$\nu(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n e{-\alpha2 (n\pi/L)^2 t}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
$$
Como nu(x,t)=sumn=1^inftyBn e^-alpha^2 (npi/L)^2 tsinl(tfracnpi xLr) e alpha^2=1, teremos mais adiante o expoente L=40.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes Bn, usamos a condição inicial e a ortogonalidade dos senos em [0,L]. Assim,
Bn=2Lintegral0^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 4

Como f(x)=50 e L=40, temos
Bn=240cdot50integral0^40sinl(tfracnpi x40r)dx =10040cdotl[-40npicosl(tfracnpi x40r)r]0^40 =-200npil[(-1)^n-1r]
Observando que 1-(-1)^n=1+(-1)^n+1, chega-se a
Bn=100pi1+(-1)^n+1n

Passo 5

Substituindo Bn, alpha^2=1 e L=40 na série geral, obtemos a solução para u(x,t).

Resposta

u(x,t)=100pisumn=1^infty1+(-1)^n+1n,e^-n^2pi^2t/1600sinl(npi x40r)

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