Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de
para todo
. Em cada um dos itens abaixo, encontre uma expressão para a temperatura
se a distribuição de temperatura na barra é a função dada. Suponha
.
(a)
Res:
.
(a)
Passo 1
Neste exercício vamos resolver a equação do calor numa barra de comprimento L=40 cm com u(0,t)=u(40,t)=0 para t>0 e condição inicial u(x,0)=50. O conteúdo é separação de variáveis e série de Fourier em funções seno.
Passo 2
Procuramos uma solução da forma
$$\nu(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n e{-\alpha2 (n\pi/L)^2 t}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
$$
Como e
, teremos mais adiante o expoente
.
Como
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial e a ortogonalidade dos senos em
. Assim,
Passo 4
Como
e
, temos
Observando que
, chega-se a
Passo 5
Substituindo
,
e
na série geral, obtemos a solução para
.