Calcule as seguintes integrais. [Dicas: Nos itens geh primeiro use a substituição u=cos x e u=e^x, respectivamente.]
integral sen xcos ^2 x+cos x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral sin xcos^2 x + cos x - 2,dx
O conteúdo envolvido é integração por substituição e frações parciais. A dica sugere usar u=cos x.

Passo 2

Façamos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx
ou seja, sin x,dx = -,du. A integral vira
integral sin xcos^2 x + cos x - 2,dx = -integral 1u^2 + u - 2,du

Passo 3

Fatoramos o denominador em u:
u^2 + u - 2 = (u - 1)(u + 2)
Portanto
-integral 1u^2 + u - 2,du = -integral 1(u - 1)(u + 2),du

Passo 4

Agora fazemos a decomposição em frações parciais:
1(u - 1)(u + 2) = Au - 1 + Bu + 2
onde A + B = 0 e 2A - B = 1. Dessa forma A=tfrac13 e B=-tfrac13. Logo
-integral 1(u - 1)(u + 2),du = -13integrall(1u - 1 - 1u + 2r),du = -13l(lnlvert u - 1rvert - lnlvert u + 2rvertr) + C

Passo 5

Retornando à variável x com u=cos x e reagrupando o logaritmo, obtemos
-13l(lnlvert cos x - 1rvert - lnlvert cos x + 2rvertr) = 13lnllvertcos x + 2cos x - 1rrvert + C

Resposta

13lnllvertcos x + 2cos x - 1rrvert + C

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