Calcule as seguintes integrais observando que o denominador possui termos não fatoráveis.
integral 3 x-2x^2+16 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 3x - 2x^2 + 16,dx
Aqui o denominador é um quadrado irreduzível ( x^2+16), então a técnica padrão é escrever o numerador como uma combinação da derivada do denominador (que gera um log) e de uma constante (que gera um arctan).

Passo 2

Escrevo
3x - 2 ;=; A cdot ddxl(x^2+16r);+;B ;=;2A,x + B
Assim posso separar a integral em duas partes: uma com 2x/(x^2+16) e outra com 1/(x^2+16).

Passo 3

Comparando coeficientes em 2A,x+B = 3x-2, temos
2A = 3Longrightarrow A = tfrac32, B = -2
Logo
integral 3x-2x^2+16,dx = 32integral 2xx^2+16,dx ;-;2integral 1x^2+16,dx

Passo 4

Para a primeira parte, basta ver que
integral 2xx^2+16,dx = lnl(x^2+16r),
pois é da forma integral u'/u,dx. Então
32integral 2xx^2+16,dx = 32,lnl(x^2+16r)

Passo 5

A segunda parte é do tipo integral 1/(x^2+a^2),dx = 1aarctan(x/a) com a=4. Assim
-2integral 1x^2+16,dx = -2cdot14,arctan!l(x4r) = -12,arctan!l(x4r)

Resposta

boxed integral 3x - 2x^2 + 16,dx = 32lnl(x^2+16r) ;-;12arctan!l(x4r) ;+;C

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