Calcule as seguintes integrais observando que o denominador possui termos não fatoráveis.
integral 1+2 x1+x+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1+2x1+x+x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos observar se o numerador está relacionado com a derivada do denominador.

Passo 2

Definimos
u(x)=1+x+x^2
Então
u'(x)=1+2x,
que coincide exatamente com o numerador da integral. Logo o integrando é da forma tfracu'(x)u(x).

Passo 3

Pela regra de integração
integral u'(x)u(x),dx = lnl|u(x)r| + C,
temos
integral 1+2x1+x+x^2,dx = lnl|1+x+x^2r| + C

Resposta

lnl(1+x+x^2r) + C

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