Calcule as seguintes integrais duplas:
Calcule
sendo
a região plana limitada por:
;
e
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar
para transformar
num retângulo em
.
Passo 2
Expressamos as fronteiras de
em função de
:
- De
vem e . - Da reta
temos - Da reta
vem
Como
está abaixo de
no primeiro quadrante, para cada
temos
Passo 3
Invertendo a transformação:
O jacobiano é
logo
lvert Jrvert=1 e
dx,dy = du,dv .]
Passo 4
Em
(u,v) a integral fica
pois
y-x=u implica
e^y-x=e^u .
Passo 5
Integramos primeiro em
v :
Agora em
u :