Calcule as seguintes integrais duplas:
Calcule integral duplaD e^y-x d x d y sendo D a região plana limitada por: y-x=1 ; y-x=2; y=2 x e y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD e^y - x,dx,dy
onde D é o paralelogramo limitado pelas retas
;y - x = 1,;y - x = 2,;y = 2x e ;y=3x.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar
u = y - x, v = y
para transformar D num retângulo em (u,v).

Passo 2

Expressamos as fronteiras de D em função de (u,v):
  • De u=y-x vem u=1 e u=2.
  • Da reta y=2x temos v = 2x = 2,(v - u);Longrightarrow;v = 2u
  • Da reta y=3x vem v = 3x = 3,(v - u);Longrightarrow;2v = 3u;Longrightarrow;v = tfrac3u2
Como y=3x está abaixo de y=2x no primeiro quadrante, para cada uin[1,2] temos
tfrac3u2;<=;v;<=;2u

Passo 3

Invertendo a transformação:
y = v, x = y - u = v - u
O jacobiano é
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det-1 & 10 & 1 = -1,
logo lvert Jrvert=1 e dx,dy = du,dv.]

Passo 4

Em (u,v) a integral fica
integral duplaD e^y-x,dx,dy =integralu=1^2!integralv=tfrac3u2^2u e^u,l(1r),dv,du,
pois y-x=u implica e^y-x=e^u.

Passo 5

Integramos primeiro em v:
integraltfrac3u2^2u e^u,dv = e^ul[,vr]v=tfrac3u2^2u = e^ul(2u - tfrac3u2r) = e^u,u2
Agora em u:
integral1^2 e^u,u2,du =12integral1^2u,e^u,du =12l[e^u(u-1)r]1^2 =12l(e^2cdot1 - e^1cdot0r) =e^22

Resposta

boxede^22

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