Mostre que o ponto A=(9,6) está na curva de equações paramétricas
r: x(t)=t^2+2 t+1 e y(t)=2 t^2-3 t+4
Encontre equações paramétricas para a reta tangente a esta curva em A.

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
x(t)=t^2+2t+1, y(t)=2t^2-3t+4
e pede para mostrar que A=(9,6) está nessa curva e depois obter as equações paramétricas da reta tangente em A. Para isso, primeiro vamos achar o valor de t que produz x=9 e y=6.

Passo 2

Impondo x(t)=9 temos
t^2+2t+1=9
t^2+2t-8=0
(t+4)(t-2)=0
Logo t=-4 ou t=2. Agora verificamos y(t) em cada caso:
Para t=-4,
y(-4)=2cdot(-4)^2-3(-4)+4=2cdot16+12+4=48neq6
Para t=2,
y(2)=2cdot2^2-3cdot2+4=8-6+4=6
t=2 y=6, então o ponto A corresponde a t0=2. Isso mostra que A está na curva.

Passo 3

A reta tangente a uma curva paramétrica em t0 tem direção dada pelo vetor derivada
vec r,'(t)=(x'(t),,y'(t)) =(2t+2,;4t-3)
Em t0=2 obtemos
x'(2)=2cdot2+2=6, y'(2)=4cdot2-3=5
Portanto o vetor direção da reta tangente em A é (6,5).

Passo 4

Para escrever as equações paramétricas da reta tangente, escolhemos um novo parâmetro, digamos s, e usamos o ponto A=(9,6) mais o vetor direção (6,5). Assim:
x(s)=9+6,s, y(s)=6+5,s

Resposta

x(s)=9+6s, y(s)=6+5s

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