Calcule as seguintes integrais duplas:
integral duplaD(x^2 tg x+y^3+4) d x d y, onde D=(x, y): x^2+y^2 <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(x^2tan x + y^3 + 4r),dx,dy,
onde D é o disco (x,y)mid x^2+y^2<=2. O que vamos usar:
  1. Linearidade da integral dupla para separar em três integrais.
  2. Simetria de funções ímpares em domínios centrados na origem para identificar integrais nulas.
  3. Fórmula da área de um disco para integrar a constante.

Passo 2

Pela linearidade,
integral duplaD(x^2tan x + y^3 + 4),dx,dy =underbraceintegral duplaDx^2tan x,dx,dyI1 +underbraceintegral duplaDy^3,dx,dyI2 +underbraceintegral duplaD4,dx,dyI3

Passo 3

Considere
I2=integral duplaDy^3,dx,dy
Como y^3 é função ímpar de y e D é simétrico em relação ao eixo x, ao integrar para cada y positivo existe -y simétrico e os valores se cancelam. Logo,
I2=0

Passo 4

Considere
I1=integral duplaDx^2tan x,dx,dy
Para cada x -x no domínio, e x^2 e o “tamanho” em y (a largura do disco) são pares em x, enquanto tan x é ímpar. Assim o integrando total é ímpar em x e se anula na integral simétrica:
I1=0

Passo 5

Finalmente,
I3=integral duplaD4,dx,dy =4cdotl(área de Dr) =4cdotl(pi(raiz2)^2r) =4cdot2pi =8pi á

Resposta

8pi

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