Linearidade da integral dupla para separar em três integrais.
Simetria de funções ímpares em domínios centrados na origem para identificar integrais nulas.
Fórmula da área de um disco para integrar a constante.
Passo 2
Pela linearidade,
Passo 3
Considere
I2=integral duplaDy^3,dx,dy
Como y^3 é função ímpar de y e D é simétrico em relação ao eixo x, ao integrar para cada y positivo existe -y simétrico e os valores se cancelam. Logo,
I2=0
Passo 4
Considere
I1=integral duplaDx^2tan x,dx,dy
Para cada x há -x no domínio, e x^2 e o “tamanho” em y (a largura do disco) são pares em x, enquanto tan x é ímpar. Assim o integrando total é ímpar em x e se anula na integral simétrica:
I1=0
Passo 5
Finalmente,
I3=integral duplaD4,dx,dy =4cdotl(área de Dr) =4cdotl(pi(raiz2)^2r) =4cdot2pi =8pi á