Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
integral duplaR x e^xy d A, R=[0,1] times[1,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRx e^xy,dA
sobre a região retangular R=[0,1]times[1,2]. O conteúdo principal aqui é integrar uma função separável em x e y usando fatoração do integrando.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada e separamos as variáveis:
integral duplaRx e^xy,dA = integralx=0^1integraly=1^2x e^xy,dy,dx = integral0^1x e^xl(integral1^21y,dyr),dx
Agora calculamos o integral interno em y:
integral1^21y,dy = ln(2)
Logo a integral fica
integral duplaRx e^xy,dA = ln(2)integral0^1x e^x,dx

Passo 3

Para calcular
integral0^1x e^x,dx
usamos integração por partes. Tomamos u=x e dv=e^xdx, de modo que du=dx e v=e^x. Assim,
integral0^1x e^x,dx = l[x e^xr]0^1 - integral0^1e^x,dx = l(e-0r) - l(e-1r) =1
Portanto
integral duplaRx e^xy,dA = ln(2)cdot 1 = ln(2)

Resposta

ln(2)

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