Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de
em um ambiente cuja temperatura é constante e vale
. Após 30 minutos mediu-se a temperatura da barra encontrando o valor de
. Pergunta-se:
a) Qual o tempo para a barra atingir a temperatura de
?
b) Após 45 minutos qual a temperatura da barra?
a) Qual o tempo para a barra atingir a temperatura de
b) Após 45 minutos qual a temperatura da barra?
Passo 1
O enunciado diz que uma barra de metal parte de 120 °C e é colocada em um ambiente a 20 °C. Após 30 min a temperatura da barra é 70 °C. Vamos aplicar a lei do resfriamento de Newton para encontrar primeiro a constante do modelo e depois calcular (a) o tempo para chegar a 65 °C e (b) a temperatura após 45 min.
Passo 2
A lei do resfriamento de Newton estabelece que a temperatura da barra satisfaz a equação diferencial dT/dt = -k (T - T_e), cuja solução geral é dada por
onde T_e = 20 °C é a temperatura do ambiente e T_0 = 120 °C a temperatura inicial.
Passo 3
Para determinar k, usamos T(30) = 70 °C. Substituindo na solução:
Isso dá
Logo
Passo 4
Para achar o tempo t₁ em que T(t₁) = 65 °C, fazemos:
Substituindo k = (\ln 2)/30:
Passo 5
Para calcular T(45), usamos a fórmula:
E como 2^{1,5}=2\sqrt{2}\approx2{,}828, temos
Resposta
a) Aproximadamente 34,6 minutos. b) Cerca de 55,4 °C.