Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de 120^circ C em um ambiente cuja temperatura é constante e vale 20^circ C. Após 30 minutos mediu-se a temperatura da barra encontrando o valor de 70^circ C. Pergunta-se:
a) Qual o tempo para a barra atingir a temperatura de 65^circ C ?
b) Após 45 minutos qual a temperatura da barra?

Passo 1

O enunciado diz que uma barra de metal parte de 120 °C e é colocada em um ambiente a 20 °C. Após 30 min a temperatura da barra é 70 °C. Vamos aplicar a lei do resfriamento de Newton para encontrar primeiro a constante do modelo e depois calcular (a) o tempo para chegar a 65 °C e (b) a temperatura após 45 min.

Passo 2

A lei do resfriamento de Newton estabelece que a temperatura da barra satisfaz a equação diferencial dT/dt = -k (T - T_e), cuja solução geral é dada por
T(t) = Te + (T0 - Te) e^-k t
onde T_e = 20 °C é a temperatura do ambiente e T_0 = 120 °C a temperatura inicial.

Passo 3

Para determinar k, usamos T(30) = 70 °C. Substituindo na solução:
70 = 20 + (120 - 20)e^-30k = 20 + 100 e^-30k
Isso dá
100 e^-30k = 50 e^-30k = 0.5
Logo
k = -130 ln(0.5) = ln 230 approx 0,0231;(min^-1)

Passo 4

Para achar o tempo t₁ em que T(t₁) = 65 °C, fazemos:
65 = 20 + 100 e^-k t₁ 100 e^-k t₁ = 45 e^-k t₁ = 0.45 t₁ = -1k ln(0.45)
Substituindo k = (\ln 2)/30:
t₁ = -30ln 2 ln(0.45) approx 34,6;minutos

Passo 5

Para calcular T(45), usamos a fórmula:
T(45) = 20 + 100 e^-kcdot45 = 20 + 100 e^-45(ln2/30) = 20 + 100cdot2^-1,5
E como 2^{1,5}=2\sqrt{2}\approx2{,}828, temos
T(45) approx 20 + 1002,828 approx 20 + 35,36 = 55,36;°C

Resposta

a) Aproximadamente 34,6 minutos. b) Cerca de 55,4 °C.

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